Номер 4.292, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.292. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

a) $b_2 = 1\frac{2}{3}, q = \frac{2}{3};$

б) $b_4 = \frac{\sqrt{2}}{8}, q = \frac{1}{2}.$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула применима при условии, что модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Для решения задачи в каждом пункте сначала необходимо найти первый член прогрессии $b_1$, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

а) Даны второй член прогрессии $b_2 = 1\frac{2}{3}$ и ее знаменатель $q = \frac{2}{3}$.
1. Проверим условие сходимости прогрессии: $|q| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3} < 1$. Условие выполняется, следовательно, можно найти сумму.
2. Найдем первый член прогрессии $b_1$. Сначала представим $b_2$ в виде неправильной дроби: $b_2 = 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
Из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$ выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{5/3}{2/3} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.
3. Теперь вычислим сумму прогрессии по формуле:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{5/2}{1 - 2/3} = \frac{5/2}{1/3} = \frac{5}{2} \cdot 3 = \frac{15}{2}$.
4. Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть: $\frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$.
Ответ: 7$\frac{1}{2}$.

б) Даны четвертый член прогрессии $b_4 = \frac{\sqrt{2}}{8}$ и ее знаменатель $q = \frac{1}{2}$.
1. Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Условие выполняется.
2. Найдем первый член прогрессии $b_1$ из формулы $b_4 = b_1 \cdot q^3$:
$b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{8}}{(\frac{1}{2})^3} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{8}}{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 8 = \sqrt{2}$.
3. Вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{1/2} = 2\sqrt{2}$.
4. В данном случае результат не является неправильной дробью, поэтому выделение целой части не производится.
Ответ: $2\sqrt{2}$.