Номер 4.297, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.297. Какой формулой можно воспользоваться, чтобы найти сумму $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$, слагаемыми которой являются последовательные члены геометрической прогрессии? Найдите эту сумму.

Какой формулой можно воспользоваться, чтобы найти сумму, слагаемыми которой являются последовательные члены геометрической прогрессии?
Представленный ряд $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...$ является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии. Чтобы определить, какую формулу использовать, найдем ее основные параметры:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q$ (отношение следующего члена к предыдущему): $q = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.

Так как ряд бесконечный (на это указывает многоточие) и модуль его знаменателя меньше единицы ($|q| = |\frac{1}{2}| < 1$), то эта прогрессия является бесконечно убывающей. Сумма такой прогрессии сходится к конечному числу.
Ответ: Для нахождения суммы нужно воспользоваться формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Найдите эту сумму.
Используя найденные значения $b_1 = 1$ и $q = \frac{1}{2}$, подставим их в формулу:
$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$S = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: 2.