Номер 4.303, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.303. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 - y^2 = 8. \end{cases} $

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки, применив формулу разности квадратов.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 2 & (1) \\ x^2 - y^2 = 8 & (2) \end{cases} $$

Второе уравнение системы, $x^2 - y^2 = 8$, представляет собой разность квадратов. Мы можем разложить левую часть по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ (x - y)(x + y) = 8 $$

Из первого уравнения (1) нам известно, что значение выражения $(x - y)$ равно 2. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$$ 2 \cdot (x + y) = 8 $$

Теперь мы можем найти значение суммы $(x + y)$, разделив обе части уравнения на 2:

$$ x + y = \frac{8}{2} $$

$$ x + y = 4 \quad (3) $$

Теперь у нас есть новая, более простая система, состоящая из двух линейных уравнений (1) и (3):

$$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases} $$

Для нахождения переменных сложим эти два уравнения:

$$ (x - y) + (x + y) = 2 + 4 $$

$$ 2x = 6 $$

Отсюда находим значение $x$:

$$ x = \frac{6}{2} = 3 $$

Теперь подставим найденное значение $x = 3$ в уравнение (3) для нахождения $y$:

$$ 3 + y = 4 $$

$$ y = 4 - 3 = 1 $$

Таким образом, решением системы является пара чисел $x = 3$ и $y = 1$.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему:

1) $x - y = 3 - 1 = 2$. (Верно)

2) $x^2 - y^2 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$. (Верно)

Решение найдено правильно.

Ответ: $(3; 1)$.