Номер 4, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. a) В арифметической прогрессии $a_{99}=8$; $a_{101}=80$. Найдите $a_{100}$.

б) В геометрической прогрессии $b_9=12,5$; $b_{11}=2$. Найдите $b_{10}$.

а) В арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. Иными словами, для любого $n > 1$ справедливо равенство: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.

В нашем случае нужно найти $a_{100}$, который находится между данными членами $a_{99}$ и $a_{101}$. Применим указанное свойство:

$a_{100} = \frac{a_{99} + a_{101}}{2}$

Подставим известные значения $a_{99} = 8$ и $a_{101} = 80$:

$a_{100} = \frac{8 + 80}{2} = \frac{88}{2} = 44$

Ответ: 44

б) В геометрической прогрессии квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов. То есть, для любого $n > 1$ справедливо равенство: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

Искомый член $b_{10}$ находится между данными членами $b_9$ и $b_{11}$. Воспользуемся этим свойством:

$b_{10}^2 = b_9 \cdot b_{11}$

Подставим известные значения $b_9 = 12,5$ и $b_{11} = 2$:

$b_{10}^2 = 12,5 \cdot 2 = 25$

Из этого уравнения следует, что $b_{10}$ может иметь два значения, так как корень из 25 может быть как положительным, так и отрицательным:

$b_{10} = \sqrt{25} = 5$ или $b_{10} = -\sqrt{25} = -5$

Оба варианта являются верными, так как знаменатель прогрессии $q$ может быть как положительным ($q = \frac{5}{12,5} = \frac{2}{5}$), так и отрицательным ($q = \frac{-5}{12,5} = -\frac{2}{5}$).

Ответ: 5 или -5