Номер 8, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Представьте в виде обыкновенной дроби число:

а) $9,(3)$;

б) $6,7(29)$.

Чтобы представить периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной, мы используем алгебраический метод. Обозначим число переменной $x$, а затем выполним математические операции, чтобы избавиться от бесконечной периодической части.

а) Рассмотрим число $9,(3)$. Это чистая периодическая дробь, так как период начинается сразу после запятой.

1. Обозначим наше число через $x$:

$x = 9,(3) = 9.333...$

2. В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:

$10x = 93.333...$

3. Теперь вычтем исходное уравнение ($x = 9.333...$) из полученного ($10x = 93.333...$). Это позволит нам убрать бесконечную дробную часть:

$10x - x = 93.333... - 9.333...$

$9x = 84$

4. Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{84}{9}$

5. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x = \frac{28}{3}$

6. Чтобы выделить целую часть, представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$x = 9\frac{1}{3}$

Ответ: $\textbf{9}\frac{1}{3}$

б) Рассмотрим число $6,7(29)$. Это смешанная периодическая дробь, так как между запятой и периодом есть цифра (7).

1. Обозначим наше число через $x$:

$x = 6,7(29) = 6.7292929...$

2. Сначала умножим уравнение на 10, чтобы "перенести" непериодическую часть (7) влево от запятой:

$10x = 67.292929...$

3. Теперь у нас есть чистая периодическая дробь $0,(29)$ в дробной части. Период состоит из двух цифр, поэтому умножим последнее уравнение на 100:

$100 \cdot (10x) = 1000x = 6729.292929...$

4. Вычтем уравнение из шага 2 из уравнения из шага 3, чтобы избавиться от периодической части:

$1000x - 10x = 6729.292929... - 67.292929...$

$990x = 6662$

5. Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{6662}{990}$

6. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$x = \frac{3331}{495}$

7. Чтобы выделить целую часть, представим неправильную дробь в виде смешанного числа. Для этого разделим 3331 на 495 с остатком:

$3331 \div 495 = 6$ (остаток $3331 - 6 \cdot 495 = 3331 - 2970 = 361$)

Таким образом, получаем:

$x = 6\frac{361}{495}$

Ответ: $\textbf{6}\frac{361}{495}$