Номер 1, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Верно ли утверждение: если длины сторон выпуклого четырехугольника, взятые в последовательности $a, b, d$ и $c$, образуют арифметическую прогрессию, то в этот четырехугольник можно вписать окружность?

Для ответа на данный вопрос необходимо использовать свойство описанного четырехугольника, известное как теорема Пито.

Теорема Пито утверждает, что в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Пусть стороны выпуклого четырехугольника, взятые в последовательном порядке, равны $a, b, c$ и $d$. Согласно теореме Пито, условие для возможности вписать в него окружность выражается равенством:

$a + c = b + d$

Теперь обратимся к условию задачи. В нем говорится, что длины сторон четырехугольника, взятые в последовательности $a, b, d$ и $c$, образуют арифметическую прогрессию. Стандартно стороны четырехугольника обозначаются $a, b, c, d$ в порядке обхода. Таким образом, условие следует понимать так: стороны четырехугольника равны $a, b, c, d$, а сами значения этих длин, но в порядке $a, b, d, c$, образуют арифметическую прогрессию.

Пусть первый член этой арифметической прогрессии равен $x$, а ее разность равна $r$. Тогда мы можем выразить длины сторон следующим образом:

• $a = x$ (первый член прогрессии)
• $b = x + r$ (второй член прогрессии)
• $d = x + 2r$ (третий член прогрессии)
• $c = x + 3r$ (четвертый член прогрессии)

Теперь проверим, выполняется ли для этих сторон условие теоремы Пито: $a + c = b + d$.

Найдем сумму длин первой пары противолежащих сторон ($a$ и $c$):

$a + c = x + (x + 3r) = 2x + 3r$

Найдем сумму длин второй пары противолежащих сторон ($b$ и $d$):

$b + d = (x + r) + (x + 2r) = 2x + 3r$

Мы видим, что обе суммы равны:

$a + c = 2x + 3r$

$b + d = 2x + 3r$

Следовательно, равенство $a + c = b + d$ выполняется для любых допустимых значений $x$ и $r$. Поскольку условие теоремы Пито всегда выполняется, в такой четырехугольник всегда можно вписать окружность.

Ответ: Да, утверждение верно.