Номер Исследовательское задание, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

Исследовательское задание. Существует ли в арифметической прогрессии 2; 5; 8; ... член, номер которого равен квадрату натурального числа? Проведите исследование. Сформулируйте обобщенный результат.

Проведите исследование:

Данная последовательность 2; 5; 8; ... является арифметической прогрессией. Найдем ее параметры и выведем формулу n-го члена.

Первый член прогрессии: $a_1 = 2$.
Разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$.
Итак, формула для любого члена данной прогрессии: $a_n = 3n - 1$.

Вопрос задачи: существует ли в этой прогрессии член, номер которого равен квадрату натурального числа? Это означает, что номер члена $n$ должен быть полным квадратом. Пусть $n = k^2$, где $k$ — натуральное число ($k = 1, 2, 3, \dots$).

Поскольку для любого натурального $k$ число $n=k^2$ является натуральным числом, то член с таким номером всегда существует в прогрессии. Найдем несколько таких членов:

• При $k=1$, номер члена $n = 1^2 = 1$. Этот член — $a_1 = 3(1) - 1 = 2$.
• При $k=2$, номер члена $n = 2^2 = 4$. Этот член — $a_4 = 3(4) - 1 = 11$.
• При $k=3$, номер члена $n = 3^2 = 9$. Этот член — $a_9 = 3(9) - 1 = 26$.

Таким образом, мы показали, что в данной прогрессии существуют члены, номера которых являются квадратами натуральных чисел.

Ответ: Да, в данной арифметической прогрессии существует член, номер которого равен квадрату натурального числа. Более того, таких членов бесконечно много.

Сформулируйте обобщенный результат:

В ходе исследования был получен ответ на прямой вопрос. Однако, "исследовательское задание" часто подразумевает поиск более глубоких свойств. Давайте исследуем связанный вопрос: может ли значение какого-либо члена прогрессии быть квадратом натурального числа?

Для этого нужно проверить, может ли выполняться равенство $a_n = k^2$ для каких-либо натуральных $n$ и $k$. $3n - 1 = k^2$.

Рассмотрим это уравнение с точки зрения теории чисел, а именно с помощью сравнений по модулю 3. Левая часть уравнения $3n - 1$ при делении на 3 всегда дает остаток -1, что эквивалентно остатку 2. $3n - 1 \equiv -1 \pmod{3}$ или $3n - 1 \equiv 2 \pmod{3}$.

Теперь посмотрим, какие остатки могут давать квадраты натуральных чисел ($k^2$) при делении на 3:

• Если $k$ делится на 3 ($k = 3m$), то $k^2 = (3m)^2 = 9m^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $k$ дает остаток 1 при делении на 3 ($k = 3m+1$), то $k^2 = (3m+1)^2 = 9m^2 + 6m + 1 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $k$ дает остаток 2 при делении на 3 ($k = 3m+2$), то $k^2 = (3m+2)^2 = 9m^2 + 12m + 4 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Он никогда не дает остаток 2.

Поскольку все члены нашей прогрессии ($a_n = 3n-1$) при делении на 3 дают остаток 2, а все полные квадраты при делении на 3 дают остаток 0 или 1, то равенство $3n - 1 = k^2$ никогда не может быть выполнено в натуральных числах.

Ответ: Обобщенный результат заключается в следующем: в арифметической прогрессии $a_n = 3n-1$ для любого натурального $k$ существует член $a_{k^2}$ с номером, являющимся квадратом натурального числа. Однако ни один член этой прогрессии (включая и члены с номерами-квадратами) сам не может быть квадратом натурального числа.