Номер 10, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Три положительных числа являются последовательными членами геометрической прогрессии, знаменатель которой больше единицы. Если среднее из них увеличить в два раза, то они станут последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Пусть три положительных числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, равны $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим первый член как $b$, а знаменатель прогрессии как $q$. По условию, числа положительны, и знаменатель $q > 1$.

Тогда эти три числа можно записать в виде:

• $b_1 = b$
• $b_2 = b \cdot q$
• $b_3 = b \cdot q^2$

Согласно условию, если среднее из этих чисел ($b \cdot q$) увеличить в два раза, то новая последовательность чисел $b$, $2 \cdot b \cdot q$, $b \cdot q^2$ станет последовательными членами арифметической прогрессии.

Для любой арифметической прогрессии с членами $a_1, a_2, a_3$ выполняется свойство: средний член равен полусумме соседних членов, то есть $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$ или $2a_2 = a_1 + a_3$.

Применим это свойство к нашей новой последовательности:

$2 \cdot (2 \cdot b \cdot q) = b + (b \cdot q^2)$

Упростим полученное уравнение:

$4bq = b + bq^2$

Поскольку исходные числа положительные, то первый член $b > 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $b$:

$4q = 1 + q^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$q^2 - 4q + 1 = 0$

Решим это уравнение относительно $q$, используя формулу для корней квадратного уравнения $q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Корни уравнения:

$q = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии:

• $q_1 = 2 + \sqrt{3}$
• $q_2 = 2 - \sqrt{3}$

В условии задачи сказано, что знаменатель геометрической прогрессии больше единицы ($q > 1$). Проверим наши решения:

• $q_1 = 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.732 = 3.732$. Это значение больше 1, следовательно, оно удовлетворяет условию.
• $q_2 = 2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268$. Это значение меньше 1, следовательно, оно не удовлетворяет условию.

Таким образом, единственно верным решением является $q = 2 + \sqrt{3}$.

Ответ: $2 + \sqrt{3}$.