Номер 1, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. По некоторым исследованиям считается, что, для того чтобы достигнуть продвинутого уровня знания иностранного языка, позволяющего понимать, читать и объясняться на этом языке, вполне достаточно знать около 3000 слов. Девятиклассник на летних каникулах планирует начать изучение иностранного языка, причем в первый день он хочет выучить 10 слов, а в каждый следующий день — на 3 слова больше, чем в предыдущий. За какое время ему удастся достигнуть продвинутого уровня, если этот план осуществится?

Для решения этой задачи мы имеем дело с арифметической прогрессией, где каждый член — это количество слов, выученных за определенный день. Нам нужно найти количество дней ($n$), за которое общая сумма выученных слов достигнет 3000.

Определим параметры арифметической прогрессии:

• Первый член прогрессии ($a_1$) — количество слов, выученных в первый день: $a_1 = 10$.
• Разность прогрессии ($d$) — ежедневное увеличение количества слов: $d = 3$.
• Сумма прогрессии ($S_n$) — общее количество слов, которое нужно выучить: $S_n \ge 3000$.
• Количество членов прогрессии ($n$) — искомое количество дней.

Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

Подставим наши значения и составим неравенство, чтобы найти $n$:

$$\frac{2 \cdot 10 + 3(n-1)}{2} \cdot n \ge 3000$$

Теперь решим это неравенство:

$$\frac{20 + 3n - 3}{2} \cdot n \ge 3000$$

$$\frac{17 + 3n}{2} \cdot n \ge 3000$$

$$(17 + 3n) \cdot n \ge 6000$$

$$3n^2 + 17n - 6000 \ge 0$$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $3n^2 + 17n - 6000 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Вычислим дискриминант ($D$):

$$D = 17^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6000) = 289 + 72000 = 72289$$

Найдем корни:

$$n_1 = \frac{-17 + \sqrt{72289}}{6} \approx \frac{-17 + 268.87}{6} \approx \frac{251.87}{6} \approx 41.98$$

$$n_2 = \frac{-17 - \sqrt{72289}}{6} \approx \frac{-17 - 268.87}{6} \approx -47.65$$

Поскольку количество дней ($n$) не может быть отрицательным, корень $n_2$ нам не подходит. Из решения неравенства $n \ge 41.98$ и того факта, что $n$ должно быть целым числом, следует, что минимальное количество дней — это следующее за 41.98 целое число, то есть 42.

Проверим:

• За 41 день будет выучено: $S_{41} = \frac{2 \cdot 10 + 3(41-1)}{2} \cdot 41 = \frac{140}{2} \cdot 41 = 2870$ слов (недостаточно).
• За 42 дня будет выучено: $S_{42} = \frac{2 \cdot 10 + 3(42-1)}{2} \cdot 42 = \frac{143}{2} \cdot 42 = 3003$ слова (достаточно).

Ответ: 42 дня.