Номер 1, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Из данных прогрессий выберите арифметические прогрессии; геометрические прогрессии:

а) $-3; 3; -3; 3; ...;$

б) $5; 5; 5; 5; ...;$

в) $2; 1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; ...;$

г) $-9; 3; -1; \frac{1}{3}; ...;$

д) $-10; -6; -2; 2; ...;$

е) $\sqrt{7}; -7; 7\sqrt{7}; -49; ...$

Какие из данных последовательностей являются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями?

Проанализируем каждую последовательность для определения ее типа.

Арифметическая прогрессия — это последовательность, где каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом $d$ (разность прогрессии).

Геометрическая прогрессия — это последовательность, где каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число $q$ (знаменатель прогрессии).

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия, у которой модуль знаменателя меньше единицы ($|q| < 1$).

а) –3; 3; –3; 3; …

• Проверка на арифметическую прогрессию: разность $a_2 - a_1 = 3 - (-3) = 6$, а $a_3 - a_2 = -3 - 3 = -6$. Разность не постоянна.
• Проверка на геометрическую прогрессию: знаменатель $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{-3} = -1$. Это соотношение сохраняется для всей последовательности.
• Проверка на бесконечное убывание: $|q| = |-1| = 1$. Условие $|q| < 1$ не выполняется.

Ответ: геометрическая прогрессия.

б) 5; 5; 5; 5; …

• Проверка на арифметическую прогрессию: разность $d = 5 - 5 = 0$. Разность постоянна.
• Проверка на геометрическую прогрессию: знаменатель $q = \frac{5}{5} = 1$. Знаменатель постоянен.
• Проверка на бесконечное убывание: $|q| = |1| = 1$. Условие $|q| < 1$ не выполняется.

Ответ: арифметическая и геометрическая прогрессия.

в) 2; 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; …

• Проверка на арифметическую прогрессию: разность $a_2 - a_1 = 1 - 2 = -1$, а $a_3 - a_2 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$. Разность не постоянна.
• Проверка на геометрическую прогрессию: знаменатель $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{2}$. Это соотношение сохраняется.
• Проверка на бесконечное убывание: $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

г) –9; 3; –1; $\frac{1}{3}$; …

• Проверка на арифметическую прогрессию: разность $a_2 - a_1 = 3 - (-9) = 12$, а $a_3 - a_2 = -1 - 3 = -4$. Разность не постоянна.
• Проверка на геометрическую прогрессию: знаменатель $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}$. Это соотношение сохраняется.
• Проверка на бесконечное убывание: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

д) –10; –6; –2; 2; …

• Проверка на арифметическую прогрессию: разность $d = -6 - (-10) = 4$. Эта разность сохраняется для всей последовательности.
• Проверка на геометрическую прогрессию: знаменатель $q_1 = \frac{-6}{-10} = \frac{3}{5}$, а $q_2 = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$. Знаменатель не постоянен.

Ответ: арифметическая прогрессия.

е) $\sqrt{7}$; –7; $7\sqrt{7}$; –49; …

• Проверка на арифметическую прогрессию: разность $a_2 - a_1 = -7 - \sqrt{7}$, а $a_3 - a_2 = 7\sqrt{7} - (-7) = 7\sqrt{7} + 7$. Разность не постоянна.
• Проверка на геометрическую прогрессию: знаменатель $q = \frac{-7}{\sqrt{7}} = -\sqrt{7}$. Это соотношение сохраняется.
• Проверка на бесконечное убывание: $|q| = |-\sqrt{7}| = \sqrt{7} \approx 2.65 > 1$. Условие $|q| < 1$ не выполняется.

Ответ: геометрическая прогрессия.

Итоговые результаты:

Арифметические прогрессии: б), д).

Геометрические прогрессии: а), б), в), г), е).

Бесконечно убывающие геометрические прогрессии: в), г).