Номер 4.301, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.301. Составьте план решения и найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если $b_3 = -1,5$, $q = 0,25$.

Данная задача состоит из двух частей: составление плана решения и нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии по известному третьему члену и знаменателю.

1. Убедиться, что заданная прогрессия действительно является бесконечно убывающей. Для этого необходимо проверить выполнение условия: модуль знаменателя прогрессии $q$ должен быть меньше единицы ($|q| < 1$).
2. Найти первый член прогрессии $b_1$. Для этого используется формула n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Используя известные значения $b_3 = -1,5$ и $q = 0,25$, мы можем выразить $b_1$ из формулы $b_3 = b_1 \cdot q^2$.
3. Вычислить сумму прогрессии. Для этого применяется формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Следуем составленному плану для нахождения численного значения суммы.

1. Проверка условия $|q| < 1$.

По условию, знаменатель прогрессии $q = 0,25$. Найдем его модуль:

$|q| = |0,25| = 0,25$

Так как $0,25 < 1$, условие выполняется, и, следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей и имеет конечную сумму.

2. Нахождение первого члена $b_1$.

Используем формулу $b_3 = b_1 \cdot q^2$ и выразим из нее $b_1$:

$b_1 = \frac{b_3}{q^2}$

Подставим известные значения $b_3 = -1,5$ и $q = 0,25$:

$b_1 = \frac{-1,5}{(0,25)^2} = \frac{-1,5}{0,0625} = -24$

Таким образом, первый член прогрессии равен -24.

3. Вычисление суммы $S$.

Теперь, зная $b_1 = -24$ и $q = 0,25$, подставим эти значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-24}{1 - 0,25} = \frac{-24}{0,75}$

Для упрощения вычислений можно перейти к обыкновенным дробям: $0,75 = \frac{3}{4}$.

$S = \frac{-24}{\frac{3}{4}} = -24 \cdot \frac{4}{3} = -8 \cdot 4 = -32$

Сумма прогрессии является целым числом.

Ответ: -32