Номер 4.295, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.295. Какую формулу нужно применить, чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($b_n$) со знаменателем $q$? Найдите эту сумму, если:

а) $b_1 = 30, q = \frac{2}{3}$;

б) $b_1 = -36, q = -\frac{1}{4}$.

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$ используется формула, которая справедлива при условии, что модуль знаменателя прогрессии меньше единицы, то есть $|q| < 1$:

$$S = \frac{b_1}{1 - q}$$

где $S$ — это сумма прогрессии, а $b_1$ — её первый член.

а) Дано: $b_1 = 30$, $q = \frac{2}{3}$.
Проверим условие для знаменателя: $|q| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$. Так как $\frac{2}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей и можно применить формулу.
Подставим значения в формулу и вычислим сумму:$$S = \frac{30}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{30}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} = \frac{30}{\frac{1}{3}} = 30 \cdot 3 = 90$$Ответ: 90

б) Дано: $b_1 = -36$, $q = -\frac{1}{4}$.
Проверим условие для знаменателя: $|q| = |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} < 1$, условие выполняется.
Подставим значения в формулу и вычислим сумму:$$S = \frac{-36}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{-36}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{-36}{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{-36}{\frac{5}{4}} = -36 \cdot \frac{4}{5} = -\frac{144}{5}$$В результате получилась неправильная дробь. Чтобы выделить целую часть, преобразуем ее в смешанное число:$$-\frac{144}{5} = -28\frac{4}{5}$$Ответ: -28$\frac{4}{5}$