Номер 4.298, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

Обозначим данное число через $x$:
$x = 0,(6) = 0.666...$

Так как в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10:
$10x = 6.666...$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:
$10x - x = 6.666... - 0.666...$
$9x = 6$

Отсюда находим $x$ и сокращаем полученную дробь:
$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

Обозначим $x = 0,(51) = 0.515151...$

Период состоит из двух цифр, поэтому умножаем уравнение на 100:
$100x = 51.515151...$

Вычитаем исходное уравнение из полученного:
$100x - x = 51.515151... - 0.515151...$
$99x = 51$

Находим $x$ и сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{51}{99} = \frac{17}{33}$

Ответ: $\frac{17}{33}$

Обозначим $x = 3,(26) = 3.262626...$

Период состоит из двух цифр, поэтому умножаем на 100:
$100x = 326.262626...$

Вычитаем исходное уравнение:
$100x - x = 326.262626... - 3.262626...$
$99x = 323$

Находим $x$:
$x = \frac{323}{99}$

Получили неправильную дробь. Чтобы выделить целую часть, разделим числитель на знаменатель: $323 \div 99 = 3$ с остатком $26$.

Ответ: $\frac{323}{99} = \mathbf{3}\frac{26}{99}$

Обозначим $x = 17,3(47) = 17.3474747...$

Это смешанная периодическая дробь. Сначала умножим число на 10, чтобы непериодическая часть (3) перешла в целую часть числа:
$10x = 173.474747...$

Теперь имеем дело с числом, у которого период начинается сразу после запятой. Период (47) состоит из двух цифр, поэтому умножим последнее уравнение на 100:
$100 \times (10x) = 100 \times 173.474747...$
$1000x = 17347.474747...$

Теперь вычтем из последнего уравнения уравнение $10x = 173.474747...$:
$1000x - 10x = 17347.474747... - 173.474747...$
$990x = 17174$

Находим $x$ и сокращаем полученную дробь на 2:
$x = \frac{17174}{990} = \frac{8587}{495}$

Получили неправильную дробь. Выделим целую часть, разделив $8587$ на $495$: $8587 \div 495 = 17$ с остатком $172$.

Ответ: $\frac{8587}{495} = \mathbf{17}\frac{172}{495}$