Номер 4.296, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.296. Составьте план решения и найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

a) $125; 25; 5; \dots;$

б) $0,1; 0,01; 0,001; \dots;$

в) $18; -6; 2; \dots .$

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} $$ где $S$ — сумма прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель. Формула применима, если знаменатель по модулю меньше единицы: $|q| < 1$.

План решения для каждой задачи:

1. Определить первый член прогрессии $b_1$.
2. Найти знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый ($q = b_2 / b_1$).
3. Проверить, что прогрессия является бесконечно убывающей, то есть $|q| < 1$.
4. Вычислить сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
5. Если результат является неправильной дробью, представить его в виде смешанного числа.

а) 125; 25; 5; ...

1. Первый член прогрессии $b_1 = 125$.
2. Находим знаменатель прогрессии: $$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{25}{125} = \frac{1}{5} $$ 3. Проверяем условие: $|q| = |\frac{1}{5}| < 1$. Условие выполнено, прогрессия является бесконечно убывающей.
4. Вычисляем сумму: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{125}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{125}{\frac{4}{5}} = 125 \cdot \frac{5}{4} = \frac{625}{4} $$ 5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{625}{4} = 156\frac{1}{4}$.

Ответ: 156$\frac{1}{4}$.

б) 0,1; 0,01; 0,001; ...

1. Первый член прогрессии $b_1 = 0,1$.
2. Находим знаменатель прогрессии: $$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,01}{0,1} = 0,1 $$ 3. Проверяем условие: $|q| = |0,1| < 1$. Условие выполнено.
4. Вычисляем сумму: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0,1}{1 - 0,1} = \frac{0,1}{0,9} = \frac{1}{9} $$ Дробь является правильной, поэтому выделять целую часть не нужно.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

в) 18; -6; 2; ...

1. Первый член прогрессии $b_1 = 18$.
2. Находим знаменатель прогрессии: $$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3} $$ 3. Проверяем условие: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполнено.
4. Вычисляем сумму: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{18}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{18}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{4}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} $$ 5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{27}{2} = 13\frac{1}{2}$.

Ответ: 13$\frac{1}{2}$.