Номер 4.302, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.302*. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма первых двух членов в 8 раз больше суммы остальных ее членов.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, модуль её знаменателя должен быть меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Сумма первых двух членов прогрессии ($b_1$ и $b_2$) вычисляется как:

$S_{1,2} = b_1 + b_2 = b_1 + b_1q = b_1(1+q)$

Остальные члены прогрессии, начиная с третьего ($b_3, b_4, b_5, \dots$), также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Первый член этой новой прогрессии — $b_3 = b_1q^2$, а знаменатель тот же — $q$. Сумма этих остальных членов равна:

$S_{ост} = \frac{b_3}{1-q} = \frac{b_1q^2}{1-q}$

Согласно условию задачи, сумма первых двух членов в 8 раз больше суммы остальных членов. Запишем это в виде уравнения:

$S_{1,2} = 8 \cdot S_{ост}$

$b_1(1+q) = 8 \cdot \left(\frac{b_1q^2}{1-q}\right)$

Предполагая, что первый член $b_1 \neq 0$ (иначе все члены прогрессии равны нулю и задача теряет смысл), мы можем сократить обе части уравнения на $b_1$:

$1+q = \frac{8q^2}{1-q}$

Так как $|q| < 1$, то $1-q \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $(1-q)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$(1+q)(1-q) = 8q^2$

В левой части уравнения используем формулу разности квадратов:

$1 - q^2 = 8q^2$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:

$1 = 8q^2 + q^2$

$1 = 9q^2$

$q^2 = \frac{1}{9}$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для знаменателя $q$:

$q_1 = \frac{1}{3}$

$q_2 = -\frac{1}{3}$

Оба найденных значения удовлетворяют начальному условию $|q| < 1$. Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Ответ: $\frac{1}{3}$ или $-\frac{1}{3}$.