Номер 4.274, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.274. Сравните дроби:

а) $\frac{3}{7}$ и $\frac{11}{13}$;

б) $-\frac{8}{9}$ и $-\frac{15}{17}$.

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{11}{13} $, приведем их к общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 7 и 13 — это их произведение, так как 7 и 13 являются простыми числами:

$ НОЗ(7, 13) = 7 \times 13 = 91 $

Приведем каждую дробь к знаменателю 91, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель.

Для дроби $ \frac{3}{7} $ дополнительный множитель равен $ 91 \div 7 = 13 $:
$ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 13}{7 \times 13} = \frac{39}{91} $

Для дроби $ \frac{11}{13} $ дополнительный множитель равен $ 91 \div 13 = 7 $:
$ \frac{11}{13} = \frac{11 \times 7}{13 \times 7} = \frac{77}{91} $

Теперь сравним полученные дроби. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Сравниваем числители:

$ 39 < 77 $

Следовательно, $ \frac{39}{91} < \frac{77}{91} $, а это значит, что $ \frac{3}{7} < \frac{11}{13} $.

Ответ: $ \frac{3}{7} < \frac{11}{13} $.

б) Чтобы сравнить отрицательные дроби $ -\frac{8}{9} $ и $ -\frac{15}{17} $, сначала сравним их модули (положительные дроби) $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{15}{17} $.

Приведем эти дроби к общему знаменателю. Знаменатели 9 и 17 взаимно простые, поэтому НОЗ равен их произведению:

$ НОЗ(9, 17) = 9 \times 17 = 153 $

Приведем дроби к знаменателю 153:

Для дроби $ \frac{8}{9} $ дополнительный множитель равен $ 153 \div 9 = 17 $:
$ \frac{8}{9} = \frac{8 \times 17}{9 \times 17} = \frac{136}{153} $

Для дроби $ \frac{15}{17} $ дополнительный множитель равен $ 153 \div 17 = 9 $:
$ \frac{15}{17} = \frac{15 \times 9}{17 \times 9} = \frac{135}{153} $

Сравним полученные дроби, сравнивая их числители:

$ 136 > 135 $

Следовательно, $ \frac{136}{153} > \frac{135}{153} $, а значит $ \frac{8}{9} > \frac{15}{17} $.

Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Так как модуль числа $ -\frac{8}{9} $ (равный $ \frac{8}{9} $) больше модуля числа $ -\frac{15}{17} $ (равного $ \frac{15}{17} $), то само число $ -\frac{8}{9} $ меньше числа $ -\frac{15}{17} $.

Ответ: $ -\frac{8}{9} < -\frac{15}{17} $.