Номер 4.273, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.273*. Три положительных числа, дающие в сумме 30, составляют арифметическую прогрессию. Если от первого числа отнять 5, от второго — 4, а третье число оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

Пусть три искомых положительных числа, составляющие арифметическую прогрессию, равны $a_1, a_2, a_3$. Для удобства решения, представим эти числа в виде $a-d$, $a$, $a+d$, где $a$ - средний член прогрессии, а $d$ - ее разность.

По условию, сумма этих чисел равна 30. Составим уравнение:$$(a-d) + a + (a+d) = 30$$$$3a = 30$$$$a = 10$$

Таким образом, искомые числа имеют вид: $10-d$, $10$, $10+d$. Из условия, что числа положительные, следует $10-d > 0$, то есть $d < 10$.

Далее, выполним преобразования, указанные в задаче:

• От первого числа отнимем 5: $(10-d) - 5 = 5-d$
• От второго числа отнимем 4: $10 - 4 = 6$
• Третье число оставим без изменения: $10+d$

Полученные числа $5-d$, $6$ и $10+d$ составляют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов. Запишем это в виде уравнения:$$6^2 = (5-d)(10+d)$$$$36 = 50 + 5d - 10d - d^2$$$$36 = 50 - 5d - d^2$$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$$d^2 + 5d - 14 = 0$$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $-14$. Подбором находим корни:$$d_1 = 2 \quad \text{и} \quad d_2 = -7$$

Оба найденных значения для $d$ удовлетворяют условию $d < 10$. Следовательно, существуют два набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Находим исходные числа, подставляя $d=2$ в выражения $10-d$, $10$, $10+d$:

• Первое число: $10 - 2 = 8$
• Второе число: $10$
• Третье число: $10 + 2 = 12$

Проверка: числа 8, 10, 12 образуют арифметическую прогрессию, их сумма равна 30. Новые числа 3, 6, 12 образуют геометрическую прогрессию.
Ответ: 8, 10, 12.

Находим исходные числа, подставляя $d=-7$ в выражения $10-d$, $10$, $10+d$:

• Первое число: $10 - (-7) = 17$
• Второе число: $10$
• Третье число: $10 + (-7) = 3$

Проверка: числа 17, 10, 3 образуют арифметическую прогрессию, их сумма равна 30. Новые числа 12, 6, 3 образуют геометрическую прогрессию.
Ответ: 17, 10, 3.