Номер 4.267, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.267. Сумма четырех первых членов геометрической прогрессии равна 62,4. Найдите первый член прогрессии, если ее знаменатель равен 0,2.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии ($b_1$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$$ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} $$

В этой формуле:

• $S_n$ — это сумма первых $n$ членов прогрессии.
• $b_1$ — это первый член прогрессии, который нам нужно найти.
• $q$ — это знаменатель прогрессии.
• $n$ — это количество членов.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

• Сумма первых четырех членов $S_4 = 62,4$.
• Количество членов $n = 4$.
• Знаменатель прогрессии $q = 0,2$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы составить уравнение:

$$ 62,4 = \frac{b_1(1 - 0,2^4)}{1 - 0,2} $$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:

1. Сначала вычислим значение знаменателя дроби:

$$ 1 - 0,2 = 0,8 $$

2. Затем вычислим $q^n$:

$$ 0,2^4 = 0,2 \times 0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,0016 $$

3. Теперь вычислим выражение в скобках в числителе:

$$ 1 - 0,0016 = 0,9984 $$

4. Подставим вычисленные значения обратно в наше уравнение:

$$ 62,4 = \frac{b_1 \cdot 0,9984}{0,8} $$

5. Чтобы найти $b_1$, выразим его из уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на 0,8 и разделим на 0,9984:

$$ b_1 = \frac{62,4 \cdot 0,8}{0,9984} $$

Выполним умножение в числителе:

$$ 62,4 \cdot 0,8 = 49,92 $$

Теперь наше уравнение для $b_1$ выглядит так:

$$ b_1 = \frac{49,92}{0,9984} $$

6. Выполним деление:

$$ b_1 = 50 $$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 50.

Ответ: 50