Номер 4.263, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.263. Известен третий член геометрической прогрессии и ее знаменатель. Составьте план нахождения 7 первых членов этой прогрессии. Предложите два способа.

Для нахождения первых семи членов геометрической прогрессии ($b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7$), зная ее третий член ($b_3$) и знаменатель ($q$), можно использовать два основных подхода.

Способ 1

Этот способ основан на предварительном нахождении первого члена прогрессии ($b_1$), а затем последовательном вычислении остальных членов. План состоит из следующих шагов:

1. Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, подставить известные значения третьего члена ($b_3$) и знаменателя ($q$) для $n=3$. Получится уравнение: $b_3 = b_1 \cdot q^2$.
2. Решить полученное уравнение относительно $b_1$, чтобы найти первый член прогрессии: $b_1 = \frac{b_3}{q^2}$.
3. Зная первый член $b_1$ и знаменатель $q$, последовательно найти все 7 первых членов, используя рекуррентную формулу $b_{k+1} = b_k \cdot q$:
   • $b_1$ (уже найден)
   • $b_2 = b_1 \cdot q$
   • $b_3 = b_2 \cdot q$ (этот шаг можно использовать для проверки правильности нахождения $b_1$)
   • $b_4 = b_3 \cdot q$
   • $b_5 = b_4 \cdot q$
   • $b_6 = b_5 \cdot q$
   • $b_7 = b_6 \cdot q$

Ответ:

Способ 2

Этот способ заключается в том, чтобы отталкиваться от известного третьего члена ($b_3$), находя последующие члены умножением на знаменатель, а предыдущие — делением. План состоит из следующих шагов:

1. Начать с известного члена $b_3$.
2. Найти члены, следующие за третьим ($b_4, b_5, b_6, b_7$), последовательно умножая каждый предыдущий член на знаменатель $q$:
   • $b_4 = b_3 \cdot q$
   • $b_5 = b_4 \cdot q$
   • $b_6 = b_5 \cdot q$
   • $b_7 = b_6 \cdot q$
3. Найти члены, предшествующие третьему ($b_2, b_1$), последовательно деля каждый следующий член на знаменатель $q$ (используя формулу $b_k = \frac{b_{k+1}}{q}$):
   • $b_2 = \frac{b_3}{q}$
   • $b_1 = \frac{b_2}{q}$
4. Объединить все найденные и данный члены в одну последовательность: $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7$.

Ответ: