Номер 4.264, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.264. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии $(c_n)$, если известно, что $c_4 = 3$; $q = -3$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $c_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

По условию задачи нам известны четвертый член прогрессии $c_4 = 3$ и знаменатель $q = -3$. Для нахождения суммы нам необходимо сначала найти первый член прогрессии $c_1$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

$c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим известные значения для четвертого члена ($n=4$):

$c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3$

$3 = c_1 \cdot (-3)^3$

$3 = c_1 \cdot (-27)$

Отсюда находим $c_1$:

$c_1 = \frac{3}{-27} = -\frac{1}{9}$

Теперь, когда мы знаем $c_1$, мы можем найти сумму шести первых членов прогрессии ($n=6$):

$S_6 = \frac{c_1(q^6 - 1)}{q - 1}$

Подставляем значения $c_1 = -\frac{1}{9}$, $q = -3$ и $n = 6$:

$S_6 = \frac{-\frac{1}{9}((-3)^6 - 1)}{-3 - 1}$

Выполним вычисления:

$(-3)^6 = 729$

$(-3)^6 - 1 = 729 - 1 = 728$

$-3 - 1 = -4$

Подставляем полученные значения обратно в формулу:

$S_6 = \frac{-\frac{1}{9} \cdot 728}{-4} = \frac{-\frac{728}{9}}{-4}$

При делении на -4 знак меняется на положительный:

$S_6 = \frac{728}{9 \cdot 4} = \frac{728}{36}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$S_6 = \frac{182}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$S_6 = 20\frac{2}{9}$

Сумма шести первых членов геометрической прогрессии Ответ: $\textbf{20}\frac{2}{9}$