Номер 4.261, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

Определим параметры прогрессии:

• Первый член $b_1 = 7$.
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{14}{7} = 2$.

Подставим значения в формулу суммы для $n=8$:

$S_8 = \frac{b_1(q^8 - 1)}{q - 1} = \frac{7(2^8 - 1)}{2 - 1} = \frac{7(256 - 1)}{1} = 7 \cdot 255 = 1785$.

Ответ: 1785.

Определим параметры прогрессии:

• Первый член $b_1 = -3$.
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{-3} = -1$.

Поскольку знаменатель $q = -1$, данная прогрессия является знакочередующейся. Сумма четного числа (в нашем случае $n=8$) членов такой прогрессии равна нулю.

Проверим это с помощью формулы:

$S_8 = \frac{b_1(q^8 - 1)}{q - 1} = \frac{-3((-1)^8 - 1)}{-1 - 1} = \frac{-3(1 - 1)}{-2} = \frac{-3 \cdot 0}{-2} = 0$.

Ответ: 0.

Определим параметры прогрессии:

• Первый член $b_1 = 5$.
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$.

Подставим значения в формулу суммы для $n=8$:

$S_8 = \frac{b_1(q^8 - 1)}{q - 1} = \frac{5((\sqrt{5})^8 - 1)}{\sqrt{5} - 1}$.

Сначала вычислим $(\sqrt{5})^8$:

$(\sqrt{5})^8 = (5^{1/2})^8 = 5^{8/2} = 5^4 = 625$.

Теперь подставим полученное значение в формулу суммы:

$S_8 = \frac{5(625 - 1)}{\sqrt{5} - 1} = \frac{5 \cdot 624}{\sqrt{5} - 1} = \frac{3120}{\sqrt{5} - 1}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} + 1)$:

$S_8 = \frac{3120(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{3120(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{3120(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{3120(\sqrt{5} + 1)}{4}$.

Сократим дробь:

$S_8 = 780(\sqrt{5} + 1)$.

Ответ: $780(\sqrt{5} + 1)$.