Номер 4.255, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.255*. Выведите формулу произведения $n$ первых членов геометрической прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, первый член которой равен $b_1$, а знаменатель равен $q$. Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Обозначим произведение первых $n$ членов этой прогрессии как $P_n$.

$P_n = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot \ldots \cdot b_n$

Теперь распишем каждый член прогрессии через $b_1$ и $q$:

$P_n = (b_1) \cdot (b_1 q) \cdot (b_1 q^2) \cdot \ldots \cdot (b_1 q^{n-1})$

Сгруппируем отдельно множители $b_1$ и множители $q$. Поскольку в произведении $n$ членов, множитель $b_1$ встретится $n$ раз.

$P_n = (b_1 \cdot b_1 \cdot \ldots \cdot b_1) \cdot (q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot \ldots \cdot q^{n-1})$

$P_n = b_1^n \cdot q^{0+1+2+\ldots+(n-1)}$

Показатель степени у $q$ представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_k)$, где первый член $a_1=0$, а последний $a_n=n-1$. Сумма $S_n$ этой арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставив наши значения, получим:

$0+1+2+\ldots+(n-1) = \frac{0 + (n-1)}{2} \cdot n = \frac{n(n-1)}{2}$

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $P_n$:

$P_n = b_1^n \cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}$

Это и есть искомая формула. Также ее можно выразить через произведение первого и последнего членов прогрессии: $P_n = \sqrt{(b_1 \cdot b_n)^n}$.

Формула произведения n первых членов геометрической прогрессии: Ответ: $P_n = b_1^n \cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}$