Номер 4.253, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.253*. В геометрической прогрессии $c_n$ с положительными членами сумма четырех первых членов равна 255 и $c_1+c_3=51$. Найдите $q$.

По условию задачи мы имеем дело с геометрической прогрессией $(c_n)$, все члены которой положительны. Это означает, что первый член $c_1 > 0$ и знаменатель прогрессии $q$ также должен быть положительным ($q > 0$), иначе члены прогрессии чередовали бы знаки.

Нам даны два условия:

1. Сумма четырех первых членов равна 255: $S_4 = c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 255$.
2. Сумма первого и третьего членов равна 51: $c_1 + c_3 = 51$.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$ для того, чтобы выразить эти условия через $c_1$ и $q$.

Из второго условия ($c_1 + c_3 = 51$) получаем:

$c_1 + c_1 \cdot q^{3-1} = 51$

$c_1 + c_1 \cdot q^2 = 51$

$c_1(1 + q^2) = 51$ (1)

Теперь преобразуем первое условие ($S_4 = 255$):

$S_4 = c_1 + c_1q + c_1q^2 + c_1q^3 = 255$

Вынесем $c_1$ за скобки:

$c_1(1 + q + q^2 + q^3) = 255$

Сгруппируем слагаемые в скобках для удобства:

$1 + q + q^2 + q^3 = (1+q) + q^2(1+q) = (1+q)(1+q^2)$

Тогда первое условие принимает вид:

$c_1(1+q)(1+q^2) = 255$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $c_1$ и $q$:

$ \begin{cases} c_1(1 + q^2) = 51 \\ c_1(1 + q)(1 + q^2) = 255 \end{cases} $

Мы можем подставить выражение $c_1(1+q^2)$ из первого уравнения во второе. Левая часть второго уравнения может быть записана как $[c_1(1+q^2)] \cdot (1+q)$.

Подставляем значение 51:

$51 \cdot (1+q) = 255$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:

$1+q = \frac{255}{51}$

$1+q = 5$

$q = 5 - 1$

$q = 4$

Поскольку $q=4 > 0$, это удовлетворяет условию положительности членов прогрессии.

Для полноты решения и проверки найдем $c_1$ из уравнения (1):

$c_1(1 + 4^2) = 51$

$c_1(1 + 16) = 51$

$c_1 \cdot 17 = 51$

$c_1 = \frac{51}{17} = 3$

Первый член $c_1=3 > 0$, что также соответствует условию.

Проверим исходные равенства:

$c_1 + c_3 = c_1 + c_1q^2 = 3 + 3 \cdot 4^2 = 3 + 3 \cdot 16 = 3 + 48 = 51$. (Верно)

$S_4 = c_1 + c_1q + c_1q^2 + c_1q^3 = 3 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 = 3 + 12 + 48 + 192 = 255$. (Верно)

Таким образом, найденное значение $q$ является правильным.

Найдите q. Ответ: 4