Номер 4.247, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.247. Сумма четырех первых членов геометрической прогрессии равна 65. Найдите первый член прогрессии, если ее знаменатель равен $\frac{2}{3}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи нам известны:

• Сумма первых четырех членов $S_4 = 65$
• Количество членов $n = 4$
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{3}$

Необходимо найти первый член прогрессии $b_1$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$65 = \frac{b_1(1 - (\frac{2}{3})^4)}{1 - \frac{2}{3}}$

Сначала вычислим знаменатель дроби в правой части уравнения:

$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Теперь вычислим выражение в скобках в числителе:

$1 - (\frac{2}{3})^4 = 1 - \frac{2^4}{3^4} = 1 - \frac{16}{81} = \frac{81}{81} - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$

Подставим полученные значения обратно в уравнение:

$65 = \frac{b_1 \cdot \frac{65}{81}}{\frac{1}{3}}$

Упростим правую часть. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$65 = b_1 \cdot \frac{65}{81} \cdot 3$

Сократим 3 и 81 в знаменателе:

$65 = b_1 \cdot \frac{65}{27}$

Чтобы найти $b_1$, разделим обе части уравнения на $\frac{65}{27}$:

$b_1 = 65 \div \frac{65}{27} = 65 \cdot \frac{27}{65}$

Сократим 65 в числителе и знаменателе, чтобы получить окончательный результат:

$b_1 = 27$

Ответ: 27.