Номер 4.244, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.244. Известны девятый и шестой члены геометрической прогрессии со знаменателем, не равным 1. Составьте план вычисления суммы 10 первых членов этой прогрессии.

Для вычисления суммы первых 10 членов геометрической прогрессии ($S_{10}$), зная ее девятый ($b_9$) и шестой ($b_6$) члены, необходимо составить и выполнить следующий план:

1. Нахождение знаменателя геометрической прогрессии $q$

   Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Запишем выражения для известных нам членов:

   $b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = b_1 \cdot q^{8}$

   $b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^{5}$

   Чтобы найти знаменатель $q$, разделим выражение для $b_9$ на выражение для $b_6$. Это позволит исключить неизвестный первый член $b_1$:

   $\frac{b_9}{b_6} = \frac{b_1 \cdot q^8}{b_1 \cdot q^5} = q^{3}$

   Из этого соотношения выражаем $q$, извлекая кубический корень.

   Ответ: Знаменатель прогрессии вычисляется по формуле $q = \sqrt[3]{\frac{b_9}{b_6}}$.

2. Нахождение первого члена геометрической прогрессии $b_1$

   Теперь, когда знаменатель $q$ известен, можно найти первый член $b_1$, выразив его из формулы для любого из известных членов. Возьмем, к примеру, $b_6$:

   $b_6 = b_1 \cdot q^5$

   Выражаем из формулы $b_1$:

   $b_1 = \frac{b_6}{q^5}$

   Подставив в эту формулу числовое значение $b_6$ и найденное на первом шаге значение $q$, можно вычислить $b_1$.

   Ответ: Первый член прогрессии вычисляется по формуле $b_1 = \frac{b_6}{q^5}$.

3. Вычисление суммы первых 10 членов прогрессии $S_{10}$

   Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии, у которой знаменатель $q \neq 1$ (что дано в условии), находится по формуле:

   $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

   Для нахождения суммы первых 10 членов ($n=10$) подставляем в формулу значения $b_1$ и $q$, найденные на предыдущих шагах.

   Ответ: Искомая сумма вычисляется по формуле $S_{10} = \frac{b_1(q^{10} - 1)}{q - 1}$.