Номер 4.241, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.241. Известен шестнадцатый член геометрической прогрессии и знаменатель прогрессии, не равный 1. Составьте план вычисления суммы 9 первых членов этой прогрессии.

Для вычисления суммы первых 9 членов геометрической прогрессии ($S_9$), имея шестнадцатый член ($b_{16}$) и знаменатель прогрессии ($q$, где $q \neq 1$), необходимо составить следующий план действий:

Шаг 1: Нахождение первого члена прогрессии ($b_1$).

Для вычисления суммы прогрессии необходим ее первый член ($b_1$). Мы можем найти его, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Нам известен шестнадцатый член ($n=16$), поэтому формула принимает вид:

$b_{16} = b_1 \cdot q^{16-1} = b_1 \cdot q^{15}$

Так как значения $b_{16}$ и $q$ известны по условию задачи, мы можем выразить и вычислить $b_1$:

$b_1 = \frac{b_{16}}{q^{15}}$

Шаг 2: Вычисление суммы первых 9 членов прогрессии ($S_9$).

Теперь, когда первый член $b_1$ найден, мы можем использовать формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Нам нужно найти сумму первых 9 членов, поэтому $n=9$. Подставляем в формулу известные значения $q$, $n=9$ и вычисленное на первом шаге значение $b_1$:

$S_9 = \frac{b_1(q^9 - 1)}{q - 1}$

Чтобы получить конечную формулу, можно подставить выражение для $b_1$ из первого шага:

$S_9 = \frac{\left(\frac{b_{16}}{q^{15}}\right)(q^9 - 1)}{q - 1} = \frac{b_{16}(q^9 - 1)}{q^{15}(q - 1)}$

Подставив в эту формулу известные числовые значения $b_{16}$ и $q$, мы получим искомую сумму $S_9$.