Номер 4.256, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.256*. Найдите сумму квадратов шести первых членов геометрической прогрессии, первый член которой равен $5\sqrt{2}$, а знаменатель равен $\sqrt{2}$.

Пусть дана геометрическая прогрессия $\{b_n\}$.

По условию задачи нам известны:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 5\sqrt{2}$
• Знаменатель прогрессии: $q = \sqrt{2}$

Требуется найти сумму квадратов первых шести членов прогрессии, то есть величину:

$S = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 + b_5^2 + b_6^2$

Рассмотрим последовательность, членами которой являются квадраты членов исходной прогрессии: $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \ldots$. Докажем, что эта новая последовательность, обозначим ее $\{c_n\}$, также является геометрической прогрессией.

Общий член исходной прогрессии задается формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Тогда общий член новой последовательности $c_n = b_n^2 = (b_1 \cdot q^{n-1})^2 = b_1^2 \cdot (q^2)^{n-1}$.

Эта формула соответствует формуле общего члена геометрической прогрессии с первым членом $c_1 = b_1^2$ и знаменателем $q' = q^2$.

Найдем параметры этой новой геометрической прогрессии:

• Первый член: $c_1 = b_1^2 = (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.
• Знаменатель: $q' = q^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Теперь задача сводится к нахождению суммы первых шести членов ($n=6$) геометрической прогрессии $\{c_n\}$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{c_1(q'^n - 1)}{q' - 1}$

Подставим наши значения $c_1=50$, $q'=2$ и $n=6$:

$S_6 = \frac{50(2^6 - 1)}{2 - 1}$

Вычислим значение в скобках:

$2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$

Теперь вычислим саму сумму:

$S_6 = \frac{50 \cdot 63}{1} = 50 \cdot 63 = 3150$

Ответ: 3150