Номер 4.81, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.81*. Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. Определите, является ли арифметической прогрессией последовательность:

а) $a_2; a_4; a_6; ...$

б) $a_1 + 5; a_2 + 5; a_3 + 5; ...$

в) $3a_1; 3a_2; 3a_3; ...$

г) $a_1^2; a_2^2; a_3^2; ...$

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. По определению, $a_{n+1} = a_n + d$ для любого натурального $n$. Чтобы определить, является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между её соседними членами постоянной величиной.

а) $a_2; a_4; a_6; ...$
Рассмотрим последовательность $(b_k)$, где $k$-й член $b_k = a_{2k}$. Найдем разность между $(k+1)$-м и $k$-м членами:
$b_{k+1} - b_k = a_{2(k+1)} - a_{2k} = a_{2k+2} - a_{2k}$.
Используя свойство арифметической прогрессии, $a_m - a_p = (m-p)d$, получаем:
$a_{2k+2} - a_{2k} = ((2k+2) - 2k)d = 2d$.
Разность постоянна и равна $2d$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: да.

б) $a_1 + 5; a_2 + 5; a_3 + 5; ...$
Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $n$-й член $c_n = a_n + 5$. Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:
$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} + 5) - (a_n + 5) = a_{n+1} - a_n$.
Так как $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, то $a_{n+1} - a_n = d$.
Разность постоянна и равна $d$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: да.

в) $3a_1; 3a_2; 3a_3; ...$
Рассмотрим последовательность $(e_n)$, где $n$-й член $e_n = 3a_n$. Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:
$e_{n+1} - e_n = 3a_{n+1} - 3a_n = 3(a_{n+1} - a_n)$.
Так как $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, то $a_{n+1} - a_n = d$.
Разность постоянна и равна $3d$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: да.

г) $a_1^2; a_2^2; a_3^2; ...$
Рассмотрим последовательность $(f_n)$, где $n$-й член $f_n = a_n^2$. Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:
$f_{n+1} - f_n = a_{n+1}^2 - a_n^2 = (a_{n+1} - a_n)(a_{n+1} + a_n)$.
Так как $a_{n+1} - a_n = d$, то $f_{n+1} - f_n = d(a_{n+1} + a_n)$.
Сумма $a_{n+1} + a_n = (a_n + d) + a_n = 2a_n + d$. Разность $f_{n+1} - f_n = d(2a_n + d)$.
Эта разность зависит от $a_n$ и, следовательно, от номера $n$. Она не является постоянной, за исключением случая $d=0$ (когда все члены прогрессии равны).
Для примера возьмем прогрессию, где $a_1=1, d=1$: $1, 2, 3, ...$. Последовательность квадратов: $1^2, 2^2, 3^2, ...$ или $1, 4, 9, ...$. Разности между членами: $4-1=3$, $9-4=5$. Они не равны.
Следовательно, в общем случае данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.