Номер 4.79, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.79* В арифметической прогрессии $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = 147$. Найдите $a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством членов арифметической прогрессии: сумма членов, равноудаленных от концов, постоянна. То есть, если для индексов выполняется равенство $k+l = m+n$, то для членов прогрессии будет справедливо $a_k + a_l = a_m + a_n$.

Сначала проанализируем выражение, данное в условии: $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = 147$.

Сгруппируем слагаемые в этом выражении в пары с одинаковой суммой индексов:

• $a_1$ и $a_{16}$: сумма индексов $1 + 16 = 17$.
• $a_4$ и $a_{13}$: сумма индексов $4 + 13 = 17$.
• $a_7$ и $a_{10}$: сумма индексов $7 + 10 = 17$.

Так как суммы индексов в каждой паре равны, то и суммы членов в этих парах также равны между собой: $a_1 + a_{16} = a_4 + a_{13} = a_7 + a_{10}$.

Тогда исходное равенство можно переписать следующим образом:

$(a_1 + a_{16}) + (a_4 + a_{13}) + (a_7 + a_{10}) = 147$

Заменив все пары на $a_1 + a_{16}$, получаем:

$3 \cdot (a_1 + a_{16}) = 147$

Из этого уравнения находим значение суммы $a_1 + a_{16}$:

$a_1 + a_{16} = \frac{147}{3} = 49$.

Теперь рассмотрим выражение, значение которого нужно найти: $S = a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$.

Сгруппируем его слагаемые аналогичным образом:

• $a_1$ и $a_{16}$: сумма индексов $1 + 16 = 17$.
• $a_6$ и $a_{11}$: сумма индексов $6 + 11 = 17$.

Поскольку $1+16 = 6+11$, то, согласно свойству арифметической прогрессии, $a_1 + a_{16} = a_6 + a_{11}$.

Следовательно, искомую сумму можно представить как сумму двух одинаковых пар:

$S = (a_1 + a_{16}) + (a_6 + a_{11}) = (a_1 + a_{16}) + (a_1 + a_{16}) = 2 \cdot (a_1 + a_{16})$.

Подставим ранее найденное значение $a_1 + a_{16} = 49$ в это выражение:

$S = 2 \cdot 49 = 98$.

Ответ: 98