Номер 4.72, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.72. Найдите, при каком значении переменной значения выражений будут являться последовательными членами арифметической прогрессии:

а) $5x + 2$; $x - 4$ и $7 - 2x$;

б) $x^2 - 8$; $5x + 3$ и $3x + 6$;

в) $x^2 + 5$; $x^2 + x$ и $8x - 14$.

Для того чтобы три выражения являлись последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо, чтобы средний член был равен среднему арифметическому двух крайних. Если обозначить выражения как $a_1$, $a_2$ и $a_3$, то должно выполняться характеристическое свойство арифметической прогрессии:

$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$ или, что то же самое, $2a_2 = a_1 + a_3$.

Применим это свойство для каждого из подпунктов.

Обозначим члены прогрессии: $a_1 = 5x+2$, $a_2 = x-4$ и $a_3 = 7-2x$.
Составим уравнение, используя свойство арифметической прогрессии:$2 \cdot (x-4) = (5x+2) + (7-2x)$
Раскроем скобки и упростим выражение:$2x - 8 = 5x + 2 + 7 - 2x$
$2x - 8 = 3x + 9$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:$2x - 3x = 9 + 8$
$-x = 17$
$x = -17$
Проверим: при $x = -17$ выражения принимают значения $5(-17)+2 = -83$, $-17-4 = -21$, $7-2(-17)=41$. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -21 - (-83) = 62$.

Ответ: -17.

Обозначим члены прогрессии: $a_1 = x^2-8$, $a_2 = 5x+3$ и $a_3 = 3x+6$.
Составим уравнение:$2 \cdot (5x+3) = (x^2-8) + (3x+6)$
Раскроем скобки и упростим:$10x + 6 = x^2 - 8 + 3x + 6$
$10x + 6 = x^2 + 3x - 2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$x^2 + 3x - 10x - 2 - 6 = 0$
$x^2 - 7x - 8 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 9}{2}$
$x_1 = \frac{7+9}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{7-9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Оба значения являются решениями.

Ответ: -1; 8.

Обозначим члены прогрессии: $a_1 = x^2+5$, $a_2 = x^2+x$ и $a_3 = 8x-14$.
Составим уравнение:$2 \cdot (x^2+x) = (x^2+5) + (8x-14)$
Раскроем скобки и упростим:$2x^2 + 2x = x^2 + 5 + 8x - 14$
$2x^2 + 2x = x^2 + 8x - 9$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:$2x^2 - x^2 + 2x - 8x + 9 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
Это уравнение является полным квадратом разности:$(x-3)^2 = 0$
Следовательно, уравнение имеет один корень:$x - 3 = 0$
$x = 3$
Проверим: при $x=3$ выражения принимают значения $3^2+5=14$, $3^2+3=12$, $8(3)-14=10$. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -2$.

Ответ: 3.