Номер 4.71, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.71. В арифметической прогрессии $a_{28} = 6\frac{2}{3}$, $a_{30} = 1\frac{1}{3}$.

Найдите $a_{29}$; $d$; $a_1$; $a_{45}$. Выполните задание разными способами.

Дана арифметическая прогрессия, в которой известны два члена: $a_{28} = 6\frac{2}{3}$ и $a_{30} = 1\frac{1}{3}$.

Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$a_{28} = 6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$
$a_{30} = 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Требуется найти $a_{29}$, разность прогрессии $d$, первый член $a_1$ и сорок пятый член $a_{45}$.

Способ 1: Нахождение $a_{29}$ через среднее арифметическое

1. Находим $a_{29}$
   Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Поэтому $a_{29}$ можно найти как среднее арифметическое $a_{28}$ и $a_{30}$:
   $a_{29} = \frac{a_{28} + a_{30}}{2} = \frac{\frac{20}{3} + \frac{4}{3}}{2} = \frac{\frac{24}{3}}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
2. Находим разность прогрессии $d$
   Разность прогрессии $d$ — это разница между любым последующим и предыдущим членом:
   $d = a_{29} - a_{28} = 4 - 6\frac{2}{3} = \frac{12}{3} - \frac{20}{3} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$.
3. Находим первый член $a_1$
   Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим $a_1$ через $a_{28}$:
   $a_1 = a_{28} - (28-1)d = a_{28} - 27d$
   $a_1 = \frac{20}{3} - 27 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{20}{3} + 9 \cdot 8 = \frac{20}{3} + 72 = \frac{20 + 216}{3} = \frac{236}{3} = 78\frac{2}{3}$.
4. Находим $a_{45}$
   Используем ту же формулу: $a_{45} = a_1 + (45-1)d = a_1 + 44d$.
   $a_{45} = \frac{236}{3} + 44 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{236}{3} - \frac{352}{3} = \frac{236 - 352}{3} = -\frac{116}{3} = -38\frac{2}{3}$.

Способ 2: Нахождение разности $d$ в первую очередь

1. Находим разность прогрессии $d$
   Используем формулу, связывающую два любых члена прогрессии: $a_m = a_n + (m-n)d$.
   $a_{30} = a_{28} + (30-28)d \Rightarrow a_{30} = a_{28} + 2d$
   Выразим $d$:
   $2d = a_{30} - a_{28} = \frac{4}{3} - \frac{20}{3} = -\frac{16}{3}$
   $d = -\frac{16}{3 \cdot 2} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$.
2. Находим $a_{29}$
   Теперь, зная $d$, найдем $a_{29}$:
   $a_{29} = a_{28} + d = \frac{20}{3} + \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{20-8}{3} = \frac{12}{3} = 4$.
3. Находим первый член $a_1$
   Вычисления аналогичны первому способу:
   $a_1 = a_{28} - 27d = \frac{20}{3} - 27 \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{20}{3} + 72 = \frac{236}{3} = 78\frac{2}{3}$.
4. Находим $a_{45}$
   Также можно найти $a_{45}$ через любой другой известный член, например, $a_{30}$:
   $a_{45} = a_{30} + (45-30)d = a_{30} + 15d$
   $a_{45} = \frac{4}{3} + 15 \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{4}{3} - 5 \cdot 8 = \frac{4}{3} - 40 = \frac{4-120}{3} = -\frac{116}{3} = -38\frac{2}{3}$.

a₂₉: Ответ: 4

d: Ответ: -2 $\frac{2}{3}$

a₁: Ответ: 78 $\frac{2}{3}$

a₄₅: Ответ: -38 $\frac{2}{3}$