Номер 4.67, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.67. Найдите номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии $(c_n)$, если $c_1 = 2\frac{1}{7}$, $d = -\frac{3}{14}$.

Для нахождения номера первого отрицательного члена арифметической прогрессии $(c_n)$ необходимо найти наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $c_n < 0$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

$c_n = c_1 + (n-1)d$

По условию задачи даны:

• Первый член прогрессии: $c_1 = 2\frac{1}{7}$
• Разность прогрессии: $d = -\frac{3}{14}$

Составим и решим неравенство $c_n < 0$.

1. Преобразование данных.

Переведем смешанное число $c_1$ в неправильную дробь для удобства вычислений:

$c_1 = 2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$

2. Составление и решение неравенства.

Подставим значения $c_1$ и $d$ в неравенство $c_1 + (n-1)d < 0$:

$\frac{15}{7} + (n-1)(-\frac{3}{14}) < 0$

$\frac{15}{7} - \frac{3(n-1)}{14} < 0$

Чтобы решить это неравенство, приведем дроби к общему знаменателю 14:

$\frac{15 \cdot 2}{14} - \frac{3(n-1)}{14} < 0$

$\frac{30 - 3(n-1)}{14} < 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{30 - 3n + 3}{14} < 0$

$\frac{33 - 3n}{14} < 0$

Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку знаменатель 14 положителен, числитель должен быть отрицательным:

$33 - 3n < 0$

Перенесем $3n$ в правую часть неравенства:

$33 < 3n$

Разделим обе части на 3 (так как 3 > 0, знак неравенства не меняется):

$11 < n$

3. Определение номера члена.

Мы получили, что номер искомого члена прогрессии $n$ должен быть строго больше 11. Так как $n$ — это порядковый номер члена последовательности, он должен быть натуральным числом. Наименьшее натуральное число, которое больше 11, это 12.

Таким образом, первым отрицательным членом данной арифметической прогрессии является член с номером 12.

Ответ: 12