Номер 4.64, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.64. В арифметической прогрессии ($a_n$) известно, что $a_{15} = 10$, $a_{20} = 6$. Найдите разность прогрессии и ее первый член. Как вычислить разность арифметической прогрессии по заданным двум ее членам?

Найдите разность прогрессии и ее первый член.

Формула n-го члена арифметической прогрессии ($a_n$) имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи даны два члена прогрессии: $a_{15} = 10$ и $a_{20} = 6$.

Запишем для них выражения, используя формулу n-го члена:

$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d = 10$

$a_{20} = a_1 + (20-1)d = a_1 + 19d = 6$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($a_1$ и $d$):

$ \begin{cases} a_1 + 14d = 10 \\ a_1 + 19d = 6 \end{cases} $

Для нахождения разности $d$, вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 19d) - (a_1 + 14d) = 6 - 10$

$5d = -4$

$d = -\frac{4}{5}$

Теперь найдем первый член $a_1$, подставив значение $d = -\frac{4}{5}$ в первое уравнение системы ($a_1 + 14d = 10$):

$a_1 + 14 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = 10$

$a_1 - \frac{56}{5} = 10$

$a_1 = 10 + \frac{56}{5} = \frac{50}{5} + \frac{56}{5} = \frac{106}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$a_1 = 21\frac{1}{5}$

Ответ: разность прогрессии $d = -\frac{4}{5}$, первый член $a_1 = \mathbf{21}\frac{1}{5}$.

Как вычислить разность арифметической прогрессии по заданным двум ее членам?

Чтобы вывести общую формулу, рассмотрим два произвольных члена арифметической прогрессии $a_n$ и $a_m$ (где $n \neq m$). Запишем формулы для каждого из них:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_m = a_1 + (m-1)d$

Вычтем второе уравнение из первого:

$a_n - a_m = (a_1 + (n-1)d) - (a_1 + (m-1)d)$

$a_n - a_m = a_1 + nd - d - a_1 - md + d$

$a_n - a_m = (n-m)d$

Из этого соотношения можно выразить разность $d$. Таким образом, чтобы вычислить разность арифметической прогрессии по двум известным членам, необходимо разность значений этих членов разделить на разность их номеров.

Ответ: $d = \frac{a_n - a_m}{n-m}$.