Номер 303, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

303. В период учений спасателей МЧС было организовано несколько полевых лагерей, каждый из которых имел линию связи со всеми остальными. Сколько полевых лагерей было организовано, если количество линий связи равно 21?

Пусть $n$ — это искомое количество полевых лагерей. Согласно условию, каждый лагерь соединен линией связи со всеми остальными. Это классическая задача из комбинаторики, где лагеря можно представить как вершины графа, а линии связи — как его рёбра. Поскольку каждый лагерь соединен со всеми, мы имеем дело с полным графом.

Количество линий связи в этом случае равно числу всех возможных пар лагерей, которые можно составить из $n$ имеющихся. Это число находится по формуле числа сочетаний из $n$ элементов по 2:

Количество линий = $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

В условии сказано, что общее количество линий связи равно 21. Подставим это значение в нашу формулу и составим уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 21$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2:

$n(n-1) = 42$

Далее можно действовать двумя способами.

1. Решение через квадратное уравнение:

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

$n^2 - n = 42$

$n^2 - n - 42 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку количество лагерей ($n$) не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -6$ не является решением задачи. Следовательно, $n = 7$.

2. Метод подбора:

Из уравнения $n(n-1) = 42$ видно, что нам нужно найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 42. Можно легко подобрать, что такими числами являются 7 и 6:

$7 \cdot 6 = 42$

Отсюда следует, что $n=7$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату: было организовано 7 полевых лагерей.

Ответ: 7