Номер 310, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

310. Бассейн можно наполнять водой через два крана. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй — на 20 мин, то весь бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин, а второй — на 15 мин, то наполнится $60\%$ бассейна. За какое время через каждый кран в отдельности может наполниться весь бассейн?

Для решения задачи обозначим производительность каждого крана через переменные и составим систему уравнений, приняв объем всего бассейна за 1.

Пусть $x$ – часть бассейна, которую наполняет первый кран за одну минуту (его производительность).
Пусть $y$ – часть бассейна, которую наполняет второй кран за одну минуту (его производительность).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

• Условие 1: Если первый кран открыть на 10 мин, а второй — на 20 мин, то бассейн будет наполнен.
  Объем, наполненный первым краном: $10x$.
  Объем, наполненный вторым краном: $20y$.
  Суммарный объем: $10x + 20y = 1$.
• Условие 2: Если первый кран открыть на 5 мин, а второй — на 15 мин, то наполнится 60% бассейна.
  60% от всего бассейна — это $0.6$.
  Суммарный объем: $5x + 15y = 0.6$.

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} 10x + 20y = 1 \\ 5x + 15y = 0.6 \end{cases} $$

Для решения системы умножим второе уравнение на 2, чтобы уравнять коэффициенты при $x$:

$2 \cdot (5x + 15y) = 2 \cdot 0.6$

$10x + 30y = 1.2$

Теперь вычтем первое уравнение ($10x + 20y = 1$) из полученного уравнения ($10x + 30y = 1.2$):

$(10x + 30y) - (10x + 20y) = 1.2 - 1$

$10y = 0.2$

$y = \frac{0.2}{10} = 0.02$

Таким образом, производительность второго крана равна $0.02$ (или $\frac{1}{50}$) бассейна в минуту.

Подставим значение $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:

$10x + 20(0.02) = 1$

$10x + 0.4 = 1$

$10x = 0.6$

$x = \frac{0.6}{10} = 0.06$

Производительность первого крана равна $0.06$ (или $\frac{3}{50}$) бассейна в минуту.

Теперь найдем время, за которое каждый кран в отдельности может наполнить весь бассейн. Время ($T$) равно отношению всего объема (1) к производительности:

Время наполнения бассейна через первый кран:
$T_1 = \frac{1}{x} = \frac{1}{0.06} = \frac{1}{\frac{6}{100}} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$ минуты.
Ответ: 16 $\frac{2}{3}$ минуты.

Время наполнения бассейна через второй кран:
$T_2 = \frac{1}{y} = \frac{1}{0.02} = \frac{1}{\frac{2}{100}} = \frac{100}{2} = 50$ минут.
Ответ: 50 минут.