Номер 316, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

316. Среднее арифметическое двух чисел равно 36, а $ \frac{1}{3} $ их разности равна 4. Найдите эти числа.

Для решения задачи обозначим два неизвестных числа как $x$ и $y$. Пусть $x$ — большее число, а $y$ — меньшее.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Среднее арифметическое двух чисел равно 36. Среднее арифметическое — это сумма чисел, деленная на их количество. Математически это записывается так:

$\frac{x + y}{2} = 36$

Из этого уравнения мы можем выразить сумму чисел:

$x + y = 36 \times 2$

$x + y = 72$

2. $\frac{1}{3}$ их разности равна 4. Разность чисел равна $x - y$. Запишем это условие в виде уравнения:

$\frac{1}{3}(x - y) = 4$

Отсюда можем найти разность чисел:

$x - y = 4 \times 3$

$x - y = 12$

Теперь у нас есть система из двух простых линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 72 \\ x - y = 12 \end{cases} $$

Для нахождения $x$ и $y$ можно использовать метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 72 + 12$

$2x = 84$

$x = \frac{84}{2}$

$x = 42$

Мы нашли первое число. Теперь, чтобы найти второе число $y$, подставим значение $x = 42$ в любое из уравнений системы, например, в первое ($x + y = 72$):

$42 + y = 72$

$y = 72 - 42$

$y = 30$

Таким образом, искомые числа — это 42 и 30.

Проверка:

• Проверим среднее арифметическое: $\frac{42 + 30}{2} = \frac{72}{2} = 36$. Это соответствует условию.
• Проверим треть разности: $\frac{1}{3}(42 - 30) = \frac{1}{3}(12) = 4$. Это также соответствует условию.

Найдите эти числа. Ответ: 42 и 30.