Номер 318, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

318. Найдите два последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 313.

Пусть первое искомое натуральное число равно $n$. Поскольку числа последовательные, второе натуральное число будет $n+1$.

Согласно условию задачи, сумма их квадратов равна 313. Это можно записать в виде уравнения:

$n^2 + (n+1)^2 = 313$

Для решения этого уравнения раскроем скобки и упростим выражение. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 + (n^2 + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2) = 313$

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 313$

Приведем подобные слагаемые:

$2n^2 + 2n + 1 = 313$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$2n^2 + 2n + 1 - 313 = 0$

$2n^2 + 2n - 312 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$n^2 + n - 156 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=-156$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 25}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 25}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

В условии сказано, что числа должны быть натуральными. Натуральные числа — это целые положительные числа. Корень $n_2 = -13$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.

Таким образом, первое число $n = 12$.

Второе последовательное число равно $n+1 = 12+1 = 13$.

Выполним проверку: $12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313$. Условие выполняется.

Ответ: 12 и 13.