Номер 322, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

322. Протяженность шоссе между пунктами $A$ и $B$ составляет 18 км. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 2 ч. Найдите скорости пешеходов, если один из них пришел в пункт $B$ на 0,9 ч позже, чем другой в пункт $A$.

Для решения этой задачи необходимо составить и решить систему уравнений. Обозначим скорости пешеходов как $v_1$ и $v_2$.

1. Составление первого уравнения.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость пешехода, идущего из пункта А, а $v_2$ (км/ч) — скорость пешехода, идущего из пункта В. Расстояние $S$ между пунктами равно 18 км. Пешеходы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_1 + v_2$.

По условию, они встретились через 2 часа. За это время они совместно преодолели всё расстояние:

$(v_1 + v_2) \times 2 = 18$

Отсюда находим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{18}{2}$

$v_1 + v_2 = 9$

Это первое уравнение системы.

2. Составление второго уравнения.

Время, которое требуется первому пешеходу, чтобы пройти весь путь, составляет $t_1 = \frac{18}{v_1}$ часа. Время для второго пешехода составляет $t_2 = \frac{18}{v_2}$ часа.

По условию, один из них затратил на весь путь на 0,9 часа больше, чем другой. Допустим, что первый пешеход был медленнее ($v_1 < v_2$), тогда его время в пути $t_1$ будет больше времени $t_2$. Таким образом:

$t_1 - t_2 = 0.9$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{18}{v_1} - \frac{18}{v_2} = 0.9$

Это второе уравнение системы.

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему:

Из первого уравнения выразим $v_2$ через $v_1$:

$v_2 = 9 - v_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{18}{v_1} - \frac{18}{9 - v_1} = 0.9$

Для решения этого уравнения приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{18(9 - v_1) - 18v_1}{v_1(9 - v_1)} = 0.9$

$\frac{162 - 18v_1 - 18v_1}{9v_1 - v_1^2} = 0.9$

$\frac{162 - 36v_1}{9v_1 - v_1^2} = 0.9$

Умножим обе части на знаменатель $9v_1 - v_1^2$ (при условии, что $v_1 \neq 0$ и $v_1 \neq 9$):

$162 - 36v_1 = 0.9(9v_1 - v_1^2)$

$162 - 36v_1 = 8.1v_1 - 0.9v_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0.9v_1^2 - 36v_1 - 8.1v_1 + 162 = 0$

$0.9v_1^2 - 44.1v_1 + 162 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все уравнение на 10:

$9v_1^2 - 441v_1 + 1620 = 0$

Для упрощения разделим все члены на 9:

$v_1^2 - 49v_1 + 180 = 0$

4. Нахождение корней квадратного уравнения.

Решим полученное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 2401 - 720 = 1681$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.

Находим возможные значения для $v_1$:

$v_{1,1} = \frac{49 - 41}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$v_{1,2} = \frac{49 + 41}{2} = \frac{90}{2} = 45$

5. Анализ корней и нахождение скоростей.

• Если $v_1 = 45$ км/ч, то $v_2 = 9 - 45 = -36$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому это решение не подходит.
• Если $v_1 = 4$ км/ч, то $v_2 = 9 - 4 = 5$ км/ч. Оба значения положительны и подходят по смыслу задачи.

Таким образом, скорость одного пешехода равна 4 км/ч, а другого — 5 км/ч. Проверим разницу во времени:

$t_1 = \frac{18}{4} = 4.5$ часа.

$t_2 = \frac{18}{5} = 3.6$ часа.

$t_1 - t_2 = 4.5 - 3.6 = 0.9$ часа, что соответствует условию задачи.

Скорость более медленного пешехода: Ответ: 4 км/ч

Скорость более быстрого пешехода: Ответ: 5 км/ч