Номер 320, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

320. Фирма по производству окон получила заказ на изготовление 160 окон для новой школы к определенному сроку. Учитывая важность заказа, ежедневно изготавливалось на 4 окна больше, чем планировалось, поэтому весь заказ был выполнен на 2 дня раньше срока. За сколько дней был выполнен заказ?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $d$ — это фактическое количество дней, за которое фирма выполнила заказ.

По условию задачи, заказ был выполнен на 2 дня раньше запланированного срока. Это означает, что плановое время на выполнение заказа составляло $d + 2$ дня.

Общий объем заказа — 160 окон.

Мы можем выразить производительность (количество окон, изготавливаемых в день) как отношение общего количества окон ко времени выполнения.

• Фактическая производительность: $P_{факт} = \frac{160}{d}$ окон в день.
• Плановая производительность: $P_{план} = \frac{160}{d+2}$ окон в день.

В задаче сказано, что фирма ежедневно изготавливала на 4 окна больше, чем планировалось. Математически это можно записать так:

$P_{факт} = P_{план} + 4$

Подставим в это уравнение выражения для производительностей:

$\frac{160}{d} = \frac{160}{d+2} + 4$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $d$. Для начала перенесем член с переменной из правой части в левую:

$\frac{160}{d} - \frac{160}{d+2} = 4$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $d(d+2)$:

$\frac{160(d+2) - 160d}{d(d+2)} = 4$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{160d + 320 - 160d}{d^2 + 2d} = 4$

$\frac{320}{d^2 + 2d} = 4$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $d^2 + 2d$. (Мы предполагаем, что $d \neq 0$ и $d \neq -2$, что логично, так как $d$ — это количество дней и должно быть положительным числом).

$320 = 4(d^2 + 2d)$

Разделим обе части уравнения на 4:

$80 = d^2 + 2d$

Запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$d^2 + 2d - 80 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$.

Теперь найдем корни уравнения:

$d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$

$d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 18}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$

Поскольку $d$ представляет собой количество дней, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $d_2 = -10$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, единственное верное решение — $d = 8$. Это и есть фактическое количество дней, за которое был выполнен заказ.

За сколько дней был выполнен заказ? Ответ: 8