Номер 319, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

319. Туристический теплоход прошел 24 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет $2 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 2)$ км/ч. Скорость теплохода должна быть больше скорости течения, чтобы он мог двигаться против течения, следовательно, $x > 2$.

Время, которое теплоход затратил на путь против течения, составляет $\frac{24}{x - 2}$ часов.

Время, которое теплоход затратил на путь по течению, составляет $\frac{16}{x + 2}$ часов.

Общее время в пути составляет 3 часа. На основе этих данных составим уравнение:

$\frac{24}{x - 2} + \frac{16}{x + 2} = 3$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2)$:

$24(x + 2) + 16(x - 2) = 3(x - 2)(x + 2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$24x + 48 + 16x - 32 = 3(x^2 - 4)$

$40x + 16 = 3x^2 - 12$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 40x - 16 - 12 = 0$

$3x^2 - 40x - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 1600 + 336 = 1936$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{40 + \sqrt{1936}}{2 \cdot 3} = \frac{40 + 44}{6} = \frac{84}{6} = 14$

$x_2 = \frac{40 - \sqrt{1936}}{2 \cdot 3} = \frac{40 - 44}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Корень $x_2 = -\frac{2}{3}$ не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Кроме того, он не удовлетворяет условию $x > 2$.

Следовательно, единственный подходящий корень — $x = 14$.

Собственная скорость теплохода: Ответ: 14 км/ч