Номер 306, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

306. Фермеру необходимо было за определенное время вспахать поле площадью 180 га. Поскольку прогноз погоды был неблагоприятным, то ежедневно он вспахивал на 2 га больше, чем планировал, и закончил работу на 1 день раньше срока. За сколько дней фермер вспахал поле?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $t$ – это количество дней, за которое фермер планировал вспахать поле, а $x$ – количество гектаров, которое он планировал вспахивать ежедневно.

Исходя из условия, что общая площадь поля составляет 180 га, можно составить первое уравнение:

$x \cdot t = 180$

Поскольку прогноз погоды был неблагоприятным, фермер решил работать быстрее. Он вспахивал ежедневно на 2 га больше, чем планировал, то есть его фактическая производительность составила $(x + 2)$ га/день. В результате он закончил работу на 1 день раньше срока, то есть фактическое время работы составило $(t - 1)$ дней. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$(x + 2) \cdot (t - 1) = 180$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} xt = 180 \\ (x+2)(t-1) = 180 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$ через $t$:

$x = \frac{180}{t}$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{180}{t} + 2)(t - 1) = 180$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $t$:

$\frac{180}{t} \cdot t - \frac{180}{t} \cdot 1 + 2 \cdot t - 2 \cdot 1 = 180$

$180 - \frac{180}{t} + 2t - 2 = 180$

Вычтем 180 из обеих частей уравнения:

$-\frac{180}{t} + 2t - 2 = 0$

Умножим все уравнение на $t$ (поскольку $t$ - это количество дней, $t \neq 0$):

$-180 + 2t^2 - 2t = 0$

Расположим члены уравнения в стандартном порядке для квадратного уравнения и разделим на 2 для упрощения:

$2t^2 - 2t - 180 = 0 \quad | : 2$

$t^2 - t - 90 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -9$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, планируемое время работы $t = 10$ дней.

В задаче спрашивается, за сколько дней фермер вспахал поле фактически. Фактическое время работы было на 1 день меньше запланированного:

$t_{факт} = t - 1 = 10 - 1 = 9$ дней.

За сколько дней фермер вспахал поле? Ответ: 9