Номер 304, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

304. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 89. Найдите эти числа.

Пусть первое искомое натуральное число — $n$. Так как числа должны быть последовательными, то второе число будет $n+1$.

По условию задачи, $n$ — натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Произведение этих двух чисел равно: $n \cdot (n+1)$.

Их сумма равна: $n + (n+1) = 2n+1$.

Согласно условию, произведение больше суммы на 89. Составим и решим уравнение:

$n(n+1) = (2n+1) + 89$

Раскроем скобки:

$n^2 + n = 2n + 90$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$n^2 + n - 2n - 90 = 0$

$n^2 - n - 90 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем уравнении коэффициенты равны $a=1$, $b=-1$, $c=-90$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Так как по условию задачи числа должны быть натуральными, корень $n_2 = -9$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, единственным подходящим решением является $n_1 = 10$.

Первое число равно 10.

Второе последовательное число равно $n+1 = 10+1 = 11$.

Проведем проверку найденных чисел:

Произведение: $10 \cdot 11 = 110$.

Сумма: $10 + 11 = 21$.

Разность между произведением и суммой: $110 - 21 = 89$.

Результат проверки подтверждает, что условие задачи выполнено.

Искомые числа Ответ: 10 и 11.