Номер 40, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

40*. Найдите значение выражения

$65 \cdot \left( \frac{2}{5 \cdot 7} + \frac{2}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{2}{63 \cdot 65} \right)$

Для решения данной задачи воспользуемся свойством так называемых "телескопических сумм". Основная идея заключается в том, чтобы представить каждую дробь в скобках в виде разности двух дробей таким образом, чтобы при суммировании большинство слагаемых взаимно уничтожилось.

1. Рассмотрим общий вид дроби в сумме: $\frac{2}{n \cdot (n+2)}$. Заметим, что ее можно представить как разность двух простых дробей. Используем тождество:

$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} = \frac{n+2 - n}{n \cdot (n+2)} = \frac{2}{n \cdot (n+2)}$

Это тождество идеально подходит для каждого слагаемого в наших скобках.

2. Применим это тождество к каждому слагаемому в сумме:

$\frac{2}{5 \cdot 7} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7}$

$\frac{2}{7 \cdot 9} = \frac{1}{7} - \frac{1}{9}$

...

$\frac{2}{63 \cdot 65} = \frac{1}{63} - \frac{1}{65}$

3. Теперь подставим эти разности обратно в исходное выражение. Сумма в скобках примет вид:

$\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \dots + \left(\frac{1}{63} - \frac{1}{65}\right)$

4. Как мы видим, все промежуточные члены суммы сокращаются (например, $-\frac{1}{7}$ и $+\frac{1}{7}$, $-\frac{1}{9}$ и следующий за ним $+\frac{1}{9}$ и так далее). Этот процесс называется "схлопыванием" или "телескопированием" суммы.

$\frac{1}{5} \cancel{- \frac{1}{7}} \cancel{+ \frac{1}{7}} \cancel{- \frac{1}{9}} + \dots \cancel{+ \frac{1}{63}} - \frac{1}{65}$

В результате остаются только первый и последний члены:

$\frac{1}{5} - \frac{1}{65}$

5. Вычислим значение этого выражения, приведя дроби к общему знаменателю 65:

$\frac{1 \cdot 13}{5 \cdot 13} - \frac{1}{65} = \frac{13}{65} - \frac{1}{65} = \frac{12}{65}$

6. Наконец, умножим полученный результат на множитель 65, стоящий перед скобками:

$65 \cdot \frac{12}{65} = 12$

Ответ: 12