Номер 39, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

39*. Значения каких выражений являются иррациональ-

ными числами:

a) $\sqrt{10 - 4\sqrt{6}}$;

б) $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}}$;

в) $\sqrt{21 - 12\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}$?

Чтобы определить, какие из данных выражений имеют иррациональные значения, необходимо упростить каждое из них. Мы будем использовать формулу для преобразования вложенных радикалов, которая основана на формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Из этого следует, что $\sqrt{X - 2\sqrt{Y}} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a}-\sqrt{b}|$, где $a+b=X$ и $ab=Y$.

Представим подкоренное выражение в виде, удобном для применения формулы. Для этого преобразуем $4\sqrt{6}$ в вид $2\sqrt{Y}$:

$10 - 4\sqrt{6} = 10 - 2 \cdot 2\sqrt{6} = 10 - 2\sqrt{4 \cdot 6} = 10 - 2\sqrt{24}$.

Теперь ищем два числа, сумма которых равна 10, а произведение — 24. Это числа 6 и 4.

Следовательно, выражение можно записать как:

$10 - 2\sqrt{24} = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6 \cdot 4} + (\sqrt{4})^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{4})^2 = (\sqrt{6}-2)^2$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{10 - 4\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6}-2)^2} = |\sqrt{6}-2|$.

Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, то $\sqrt{6} > 2$, и значение выражения $\sqrt{6}-2$ положительно. Значит, модуль можно опустить.

Результат равен $\sqrt{6}-2$. Это число является иррациональным, так как является разностью иррационального числа $\sqrt{6}$ и рационального числа 2.

Ответ: значение выражения равно $\sqrt{6}-2$, что является иррациональным числом.

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем подкоренное выражение:

$15 - 6\sqrt{6} = 15 - 2 \cdot 3\sqrt{6} = 15 - 2\sqrt{9 \cdot 6} = 15 - 2\sqrt{54}$.

Ищем два числа, сумма которых 15, а произведение 54. Это числа 9 и 6.

$15 - 2\sqrt{54} = (\sqrt{9})^2 - 2\sqrt{9 \cdot 6} + (\sqrt{6})^2 = (\sqrt{9} - \sqrt{6})^2 = (3-\sqrt{6})^2$.

Извлекаем корень:

$\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{(3-\sqrt{6})^2} = |3-\sqrt{6}|$.

Так как $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{6}$, то $3-\sqrt{6} > 0$. Модуль можно опустить.

Результат равен $3-\sqrt{6}$. Это число является иррациональным.

Ответ: значение выражения равно $3-\sqrt{6}$, что является иррациональным числом.

Сначала упростим радикал $\sqrt{21 - 12\sqrt{3}}$.

$21 - 12\sqrt{3} = 21 - 2 \cdot 6\sqrt{3} = 21 - 2\sqrt{36 \cdot 3} = 21 - 2\sqrt{108}$.

Ищем два числа, сумма которых 21, а произведение 108. Это числа 12 и 9.

$21 - 2\sqrt{108} = (\sqrt{12})^2 - 2\sqrt{12 \cdot 9} + (\sqrt{9})^2 = (\sqrt{12}-\sqrt{9})^2 = (2\sqrt{3}-3)^2$.

Извлекаем корень:

$\sqrt{21 - 12\sqrt{3}} = \sqrt{(2\sqrt{3}-3)^2} = |2\sqrt{3}-3|$.

Так как $(2\sqrt{3})^2 = 12$ и $3^2=9$, то $2\sqrt{3} > 3$, и значение выражения $2\sqrt{3}-3$ положительно.

$\sqrt{21 - 12\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}-3$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(2\sqrt{3}-3) - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 3 - 2\sqrt{3} = -3$.

Результат равен -3. Это целое число, следовательно, оно является рациональным.

Ответ: значение выражения равно $-3$, что является рациональным числом.

Таким образом, на вопрос "Значения каких выражений являются иррациональными числами?" ответом будут выражения из пунктов а) и б).