Номер 37, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

37*. Вынесите множитель из-под знака корня $\sqrt{-9a^3k^4}$.

Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{-9a^3k^4}$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$-9a^3k^4 \ge 0$

Так как множитель $k^4$ всегда неотрицателен ($k^4 \ge 0$), а множитель $-9$ — отрицательный, для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы множитель $a^3$ был неположительным (то есть меньше или равен нулю):

$a^3 \le 0$, что выполняется только при $a \le 0$.

Таким образом, данное выражение определено только при $a \le 0$.

2. Преобразование подкоренного выражения

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся полными квадратами. Учитываем, что если $a \le 0$, то $-a \ge 0$.

$-9a^3k^4 = 9 \cdot a^2 \cdot k^4 \cdot (-a) = (3)^2 \cdot a^2 \cdot (k^2)^2 \cdot (-a)$

3. Вынесение множителей из-под знака корня

Подставим преобразованное выражение под знак корня и воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (для неотрицательных $x$ и $y$):

$\sqrt{-9a^3k^4} = \sqrt{9 \cdot a^2 \cdot (k^2)^2 \cdot (-a)} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{(k^2)^2} \cdot \sqrt{-a}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

• $\sqrt{9} = 3$
• $\sqrt{a^2} = |a|$. Так как по ОДЗ $a \le 0$, то $|a| = -a$.
• $\sqrt{(k^2)^2} = |k^2| = k^2$ (так как $k^2$ всегда неотрицательно).
• Множитель $\sqrt{-a}$ остается под корнем.

4. Получение итогового выражения

Перемножаем полученные результаты:

$3 \cdot (-a) \cdot k^2 \cdot \sqrt{-a} = -3ak^2\sqrt{-a}$

Ответ: $-3ak^2\sqrt{-a}$