Номер 31, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

31. Найдите значение выражения:

а) $(\sqrt{2})^2-(2\sqrt{7})^2$;

б) $(-\sqrt{3})^2+\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$.

Для решения данных выражений используются следующие свойства степеней и квадратных корней:

• $(\sqrt{a})^2 = a$ (для любого неотрицательного числа $a$)
• $(ab)^n = a^n b^n$
• $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
• $(-a)^2 = a^2$

а) Рассмотрим выражение $(\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{7})^2$.

1. Вычислим значение первого слагаемого, используя свойство квадрата квадратного корня:

$(\sqrt{2})^2 = 2$

2. Вычислим значение второго слагаемого, используя свойство степени произведения:

$(2\sqrt{7})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$

3. Найдем разность полученных значений:

$2 - 28 = -26$

Ответ: -26

б) Рассмотрим выражение $(-\sqrt{3})^2 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2$.

1. Вычислим значение первого слагаемого. Квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного:

$(-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

2. Вычислим значение второго слагаемого, используя свойство степени дроби:

$(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{5}{4}$

3. Найдем сумму полученных значений:

$3 + \frac{5}{4}$

Чтобы сложить целое число и дробь, можно представить $3$ как $\frac{12}{4}$:

$\frac{12}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12+5}{4} = \frac{17}{4}$

4. Преобразуем неправильную дробь $\frac{17}{4}$ в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком: $17 \div 4 = 4$ и остаток $1$.

$\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$

Ответ: $\mathbf{4}\frac{1}{4}$