Номер 38, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

38*. Выполните действия:

а) $ (\sqrt{5+2\sqrt{6}} - \sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 $

б) $ \sqrt{(1-\sqrt{7})^2} + \sqrt{(3-\sqrt{7})^2} $

а) Для решения данного выражения $(\sqrt{5+2\sqrt{6}} - \sqrt{5-2\sqrt{6}})^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае:

• $a = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$
• $b = \sqrt{5-2\sqrt{6}}$

Подставим эти значения в формулу:

$(\sqrt{5+2\sqrt{6}} - \sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 = (\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2 - 2 \cdot \sqrt{5+2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}} + (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^2$

Теперь вычислим каждую часть выражения по отдельности:

1. $(\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2 = 5+2\sqrt{6}$
2. $(\sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 = 5-2\sqrt{6}$
3. $2 \cdot \sqrt{5+2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}} = 2 \cdot \sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}$

   Выражение под корнем является разностью квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

   $(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$

   Тогда произведение равно: $2 \cdot \sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$

Теперь соберем все части вместе:

$(5+2\sqrt{6}) - 2 + (5-2\sqrt{6}) = 5 + 2\sqrt{6} - 2 + 5 - 2\sqrt{6}$

Сгруппируем слагаемые:

$(5 - 2 + 5) + (2\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) = 8 + 0 = 8$

Ответ: 8

б) Для решения выражения $\sqrt{(1-\sqrt{7})^2} + \sqrt{(3-\sqrt{7})^2}$ воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Применив это свойство, получаем:

$\sqrt{(1-\sqrt{7})^2} + \sqrt{(3-\sqrt{7})^2} = |1-\sqrt{7}| + |3-\sqrt{7}|$

Теперь раскроем модули. Для этого нужно определить знак выражений под знаком модуля.

1. Определим знак выражения $1-\sqrt{7}$.

   Сравним 1 и $\sqrt{7}$. Возведем оба числа в квадрат:

   $1^2 = 1$

   $(\sqrt{7})^2 = 7$

   Так как $1 < 7$, то $1 < \sqrt{7}$, следовательно, выражение $1-\sqrt{7}$ отрицательное.

   По определению модуля: $|1-\sqrt{7}| = -(1-\sqrt{7}) = \sqrt{7}-1$.

2. Определим знак выражения $3-\sqrt{7}$.

   Сравним 3 и $\sqrt{7}$. Возведем оба числа в квадрат:

   $3^2 = 9$

   $(\sqrt{7})^2 = 7$

   Так как $9 > 7$, то $3 > \sqrt{7}$, следовательно, выражение $3-\sqrt{7}$ положительное.

   По определению модуля: $|3-\sqrt{7}| = 3-\sqrt{7}$.

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$(\sqrt{7}-1) + (3-\sqrt{7})$

Упростим, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые:

$\sqrt{7} - 1 + 3 - \sqrt{7} = (\sqrt{7} - \sqrt{7}) + (-1 + 3) = 0 + 2 = 2$

Ответ: 2