Номер 41, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

41*. Упростите выражение $\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}}$.

Для упрощения данного выражения, содержащего вложенные корни, будем действовать поэтапно, упрощая его изнутри наружу. Основной метод — выделение полного квадрата под знаком корня.

Шаг 1. Упрощение внутреннего радикала $\sqrt{9+4\sqrt{5}}$

Мы хотим представить подкоренное выражение $9+4\sqrt{5}$ в виде полного квадрата, используя формулу квадрата суммы $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$.

Для этого преобразуем выражение, выделив множитель 2 перед внутренним корнем:

$9+4\sqrt{5} = 9+2 \cdot 2\sqrt{5} = 9+2\sqrt{4 \cdot 5} = 9+2\sqrt{20}$

Теперь, сравнивая с формулой $a+b+2\sqrt{ab}$, нам нужно найти два числа $a$ и $b$, для которых выполняются условия:

• $a+b = 9$
• $ab = 20$

По теореме Виета или подбором находим, что эти числа — 5 и 4.

Таким образом, мы можем записать:

$9+4\sqrt{5} = 5+4+2\sqrt{5 \cdot 4} = (\sqrt{5})^2+(\sqrt{4})^2+2\sqrt{5}\sqrt{4} = (\sqrt{5}+\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}+2)^2$

Теперь извлекаем корень:

$\sqrt{9+4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+2)^2} = |\sqrt{5}+2| = \sqrt{5}+2$, так как выражение $\sqrt{5}+2$ является положительным.

Шаг 2. Подстановка и упрощение основного выражения

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\sqrt{17 - 4\sqrt{9+4\sqrt{5}}} = \sqrt{17 - 4(\sqrt{5}+2)}$

Раскроем скобки под внешним корнем:

$17 - 4(\sqrt{5}+2) = 17 - 4\sqrt{5} - 4 \cdot 2 = 17 - 4\sqrt{5} - 8 = 9 - 4\sqrt{5}$

Теперь задача сводится к упрощению выражения $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$.

Шаг 3. Упрощение $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$

Действуем аналогично шагу 1, но теперь используем формулу квадрата разности $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$.

Преобразуем $9-4\sqrt{5}$:

$9-4\sqrt{5} = 9-2\sqrt{20}$

Числа $a$ и $b$ остаются теми же: 5 и 4 ($a+b=9$, $ab=20$).

$9-4\sqrt{5} = 5+4-2\sqrt{5 \cdot 4} = (\sqrt{5})^2+(\sqrt{4})^2-2\sqrt{5}\sqrt{4} = (\sqrt{5}-\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}-2)^2$

Извлекаем корень:

$\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2|$

Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $\sqrt{5}-2$. Так как $4 < 5$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то есть $2 < \sqrt{5}$. Следовательно, разность $\sqrt{5}-2$ является положительным числом.

Таким образом, $|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$.

Ответ: $\sqrt{5}-2$