Номер 35, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

35. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{3}{\sqrt{6}} $;

б) $ \frac{4}{\sqrt{3}-1} $;

в) $ \frac{5}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} $.

a) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3}{\sqrt{6}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{6}$. Это позволит получить в знаменателе целое число, так как $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.

Выполним умножение:
$\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$\frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

б) В знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt{3}-1}$ находится разность. Чтобы избавиться от иррациональности в таком случае, нужно домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Сопряженным для выражения $(\sqrt{a}-b)$ является выражение $(\sqrt{a}+b)$. При их умножении используется формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

Сопряженным для знаменателя $\sqrt{3}-1$ является $\sqrt{3}+1$. Умножим на него числитель и знаменатель:
$\frac{4}{\sqrt{3}-1} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1) \cdot (\sqrt{3}+1)} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{2}$

Сократим полученное выражение на 2:
$\frac{4(\sqrt{3}+1)}{2} = 2(\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3}+2$

Ответ: $2(\sqrt{3}+1)$

в) В знаменателе дроби $\frac{5}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ находится сумма. Как и в предыдущем примере, используем метод умножения на сопряженное выражение. Сопряженным для $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ является $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.

Сопряженным для знаменателя $\sqrt{6}+\sqrt{2}$ является $\sqrt{6}-\sqrt{2}$. Умножим на него числитель и знаменатель, используя в знаменателе формулу разности квадратов:
$\frac{5}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{5(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$

Полученное выражение содержит неправильную дробь $\frac{5}{4}$. Выделим из нее целую часть: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{5(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$ или в виде смешанного числа: $\mathbf{1}\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$