Номер 24, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

24. Найдите значение выражения

$(- \frac{1}{3})^{-10} \cdot 27^{-3} + 0,2^{-4} \cdot 25^{-2} + 0,125^{-2}.$

Для нахождения значения выражения, вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

1. Вычислим значение $(-\frac{1}{3})^{-10} \cdot 27^{-3}$
Для вычисления используем свойства степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$.
Первый множитель: так как степень $(-10)$ является четным числом, знак минус у основания можно опустить.
$ (-\frac{1}{3})^{-10} = (\frac{1}{3})^{-10} = 3^{10} $.
Второй множитель: представим число $27$ как степень тройки, $27 = 3^3$.
$ 27^{-3} = (3^3)^{-3} = 3^{3 \cdot (-3)} = 3^{-9} $.
Теперь найдем произведение:
$ 3^{10} \cdot 3^{-9} = 3^{10+(-9)} = 3^1 = 3 $.

2. Вычислим значение $0,2^{-4} \cdot 25^{-2}$
Приведем все множители к основанию 5.
Первый множитель: представим $0,2$ в виде обыкновенной дроби $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$ 0,2^{-4} = (\frac{1}{5})^{-4} = 5^4 $.
Второй множитель: представим $25$ как степень пятерки, $25 = 5^2$.
$ 25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4} $.
Найдем произведение:
$ 5^4 \cdot 5^{-4} = 5^{4+(-4)} = 5^0 = 1 $.

3. Вычислим значение $0,125^{-2}$
Представим десятичную дробь $0,125$ в виде обыкновенной.
$ 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} $.
Теперь вычислим значение выражения:
$ 0,125^{-2} = (\frac{1}{8})^{-2} = 8^2 = 64 $.

4. Найдем итоговое значение выражения
Сложим полученные результаты:
$ 3 + 1 + 64 = 68 $.

Ответ: 68.